Paradojas

(Frag­men­tos adap­ta­dos de El juego del sen­ti­do)

«Puedo jugar con las pie­zas del aje­drez según cier­tas re­glas. Pero po­dría tam­bién in­ven­tar un juego en el que juego con las re­glas mis­mas. Las pie­zas de mi juego son ahora las re­glas del juego de aje­drez y las re­glas del juego son, por ejem­plo, las leyes de la ló­gi­ca. En­ton­ces tengo una vez más un juego, y no un meta-juego.»

Lud­wig Witt­gens­tein (Ob­ser­va­cio­nes fi­lo­só­fi­cas, Se­gun­do Apén­di­ce, “Con­sis­ten­cia”)

1. El juego del sen­ti­do y sus lí­mi­tes

El sen­ti­do es el asun­to de los asun­tos. No co­no­ce­mos fuera del sen­ti­do. Si lo de­fi­ni­mos asi­mi­lán­do­lo a un juego, con sus pie­zas (que son los con­cep­tos) y sus re­glas de mo­vi­mien­to y ac­ción, hay que decir que esa de­fi­ni­ción es tam­bién una ju­ga­da del juego, que pa­re­ce que­rer au­to­rre­tra­tar­se.
Los ju­ga­do­res que eje­cu­tan la tarea se ol­vi­dan o se dis­traen de su su­je­ción al juego. El ex­tra­ña­mien­to que ex­pe­ri­men­tan es la ilu­mi­na­ción de lo obvio: sien­ten que les di­fi­cul­ta la tarea la im­po­si­bi­li­dad de salir, de tomar dis­tan­cia del juego a in­da­gar; vale decir: el no poder no jugar al juego sobre el que se quie­re re­fle­xio­nar, el ser inevi­ta­ble­men­te esa re­fle­xión una ju­ga­da suya. Bien, pero tam­po­co es tan grave: es sólo el co­no­ci­mien­to que se puede tener del juego del sen­ti­do desde aden­tro del juego; parte de ese saber es ese mismo saber, el de no poder saber nada del juego desde afue­ra del juego.
Como sea, acaso nada nos apor­te mejor in­for­ma­ción sobre el sen­ti­do que sus cri­sis de fun­cio­na­mien­to; el juego se de­fi­ne en sus lí­mi­tes por­que es ahí donde re­ve­la sus ca­ren­cias in­so­por­ta­bles, aque­llo sin lo cual se vuel­ve in­via­ble, in­ju­ga­ble (las cri­sis de sen­ti­do im­por­tan como mo­men­tos de ma­ni­fes­ta­ción pri­vi­le­gia­dos por la ne­ce­si­dad de su­perar­los, de la que ca­re­cen los otros mo­men­tos). En un juego cuya salud está hecha, más tarde o más tem­prano, de equi­li­brios tau­to­ló­gi­cos, sus cri­sis o co­lap­sos no pue­den sino ser epi­so­dios de su an­tí­te­sis, epi­so­dios de con­tra­dic­ción: pa­ra­do­jas, para dar­les un nom­bre ge­né­ri­co. Así, el in­te­rés por el sen­ti­do in­vo­lu­cra el in­te­rés por la con­tra­dic­ción y su ava­tar ar­gu­men­ta­ti­vo, el ab­sur­do.
En­ton­ces, si en el juego del sen­ti­do las re­la­cio­nes de igual­dad están re­ser­va­das a las tau­to­lo­gías, nunca ve­re­mos una con­tra­dic­ción ins­ta­la­da en ellas, no sien­do que haya to­ma­do por asal­to esa plaza. Una pa­ra­do­ja es la his­to­ria de al­guno de esos asal­tos.
Con­du­cien­do una idea a un ab­sur­do se la im­pug­na. Tal vez una neu­tra con­fian­za en su éxito se­gu­ro hace que el ab­sur­do re­sul­te menos co­no­ci­do que usado. Es pro­ba­ble que no pueda sa­ber­se nada que no sea una va­ria­ción de la igual­dad pa­ra­dó­ji­ca de tér­mi­nos di­fe­ren­tes (o de la di­fe­ren­cia pa­ra­dó­ji­ca de tér­mi­nos igua­les, como la de un tér­mino con­si­go mismo); pero tam­bién es pro­ba­ble que el co­no­ci­mien­to de esas va­ria­cio­nes no sea su­per­fluo. En ellas se de­cla­ran nues­tras im­po­si­bi­li­da­des: nin­gún ju­ga­dor puede de­ten­tar el poder pa­ra­li­za­dor de una pa­ra­do­ja, ade­más de su poder di­sua­si­vo.

2. El poder de los ju­ga­do­res

Un “su­je­to” es un ju­ga­dor, al­guien que prac­ti­ca un juego cuyas leyes de­fi­nen el es­pa­cio de su li­ber­tad de ac­ción (es decir, su poder). De ahí que nin­gu­na ju­ga­da suya puede ser más po­de­ro­sa que el juego; todo po­de­río se de­ten­ta den­tro de algún juego, de las po­si­bi­li­da­des que se de­ri­van de su gra­má­ti­ca (o re­gla­men­to).
El juego del sen­ti­do, cuyas re­glas rigen en cual­quier juego con­sis­ten­te, es­ti­pu­la que hay un poder im­po­si­ble para todos sus ju­ga­do­res: el de per­pe­trar una con­tra­dic­ción. Que haya una ju­ga­da im­po­si­ble im­pli­ca que no hay ju­ga­dor to­do­po­de­ro­so, de li­ber­tad ili­mi­ta­da.

Una co­no­ci­da pa­ra­do­ja quie­re de­mos­trar que Dios, desa­fia­do en los tér­mi­nos con­ve­nien­tes, no puede no ca­re­cer de algún poder: si crea una pie­dra no le­van­ta­ble, ca­re­ce del poder de le­van­tar­la; si no la crea, del poder de crear­la. O está obli­ga­do a no crear­la o está im­po­si­bi­li­ta­do de le­van­tar­la; si elude una li­mi­ta­ción, cae en la otra.
Poco im­por­ta que pueda evi­tar­se la pa­ra­do­ja res­trin­gien­do el al­can­ce del atri­bu­to que pre­sen­ta la roca a crear (acor­dan­do, por ejem­plo, que sea no le­van­ta­ble para todos, ex­cep­to para Dios). Tam­po­co in­tere­sa in­va­li­dar el ar­gu­men­to: sa­be­mos que el atri­bu­to de la crea­tu­ra so­li­ci­ta­da con­tra­di­ce el atri­bu­to que se pre­ten­de re­fu­tar en el crea­dor, como quien pre­su­po­ne en la de­mos­tra­ción aque­llo que quie­re de­mos­trar. Más fuer­te que esta im­pug­na­ción o aque­lla en­mien­da me pa­re­ce el hecho de que el poder de Dios las ne­ce­si­te para se­guir sien­do ab­so­lu­to; esa ne­ce­si­dad de di­sol­ver o de des­ca­li­fi­car la con­tra­dic­ción, esa de­pen­den­cia res­pec­to de la ló­gi­ca, es ya una dis­mi­nu­ción.
Si no in­tere­sa tanto que se pueda im­pug­nar el desa­fío de crear una pie­dra no le­van­ta­ble, es por­que hay ahí otro desa­fío de mayor peso; en úl­ti­ma ins­tan­cia, a Dios se lo ha desa­fia­do a que pueda lo con­tra­dic­to­rio, vale decir: que no pueda le­van­tar una pie­dra y que aun así siga sien­do to­do­po­de­ro­so, o que lo sea aun­que no pueda crear­la. Es esto lo que Dios no puede, lo que li­mi­ta su po­tes­tad por el mero hecho de que le hace res­pe­tar una ley, la de no con­tra­dic­ción. Como res­tric­ción mí­ni­ma, nin­gún ju­ga­dor del juego del sen­ti­do puede lo con­tra­dic­to­rio.
Para ser to­do­po­de­ro­so, Dios de­be­ría poder lo con­tra­dic­to­rio sin estar obli­ga­do a ello. Si una ló­gi­ca de lo in­con­sis­ten­te obli­ga­se a Dios a ser con­tra­dic­to­rio, tal obli­ga­ción su­pon­dría otra resta de su poder. La con­se­cuen­cia de un ser to­do­po­de­ro­so no es una ló­gi­ca in­con­sis­ten­te en vez de con­sis­ten­te, sino una inexis­ten­te (o inope­ran­te en re­la­ción con ese ser); dicho de otro modo: una li­ber­tad y poder ili­mi­ta­dos, ab­so­lu­tos, im­pli­can una pres­cin­den­cia per­fec­ta de todo juego (cuyas leyes, por mí­ni­mas o ge­ne­ra­les que sean, siem­pre su­po­nen un con­di­cio­na­mien­to).

Si Dios todo lo puede, la caída de un cuer­po no se ex­pli­ca, en úl­ti­ma ins­tan­cia, por la ley de gra­ve­dad, sino por la vo­lun­tad di­vi­na de no in­ter­fe­rir en su cum­pli­mien­to. Si hay algo que Dios no puede hacer, en­ton­ces hay algo que no está su­je­to a su vo­lun­tad, sino algo a lo cual se su­je­ta la vo­lun­tad de Dios. Ese algo im­po­si­ble, vale in­sis­tir, es la per­pe­tra­ción de una con­tra­dic­ción. En la pers­pec­ti­va de este im­po­si­ble, la di­fe­ren­cia entre el ejer­ci­cio de un poder di­vino y el de un poder hu­mano es cuan­ti­ta­ti­va: Dios puede más que el hom­bre, obra en otra es­ca­la, pero su poder es lo mismo que el del hom­bre, ya que está de­fi­ni­do por los mis­mos lí­mi­tes.
Uno de esos lí­mi­tes, como vimos, es la im­po­si­bi­li­dad de la ple­ni­tud, de la li­ber­tad pura; el otro, la im­po­si­bi­li­dad de la pu­re­za opues­ta: la de un con­di­cio­na­mien­to. Todo poder se ejer­ce entre estos dos lí­mi­tes, que es­pe­ci­fi­can, res­pec­ti­va­men­te, sus gra­dos má­xi­mo y mí­ni­mo. El poder ex­clu­ye las pu­re­zas de su afir­ma­ción y de su ne­ga­ción; con­sis­te en una mez­cla de li­ber­tad y su­je­ción. Ele­gir entre una li­ber­tad im­pu­ra y una su­je­ción im­pu­ra para ca­rac­te­ri­zar el poder de un ju­ga­dor es in­dis­tin­to; cada una su­po­ne a la otra. Así, para que haya su­je­to, su poder no puede ser nulo ni ab­so­lu­to. Ab­so­lu­to es im­po­si­ble; si es nulo, ya no se trata de un su­je­to, sino de un ins­tru­men­to. Una ca­ni­lla —por ejem­plo— no actúa, sólo fun­cio­na; no de­ci­de si dar o no agua; no hace algo, sino que al­guien hace algo a tra­vés de ella, que ca­re­ce de toda li­ber­tad o poder.
Un juego, como un ins­tru­men­to, fun­cio­na, no actúa. No hay di­fe­ren­cia de efec­tos entre este mero fun­cio­na­mien­to y la ac­ción de un ju­ga­dor cuyas vir­tu­des de es­ti­lo se han vuel­to inú­ti­les a causa de una im­po­si­bi­li­dad de­ri­va­da de la gra­má­ti­ca del juego. Para in­ten­tar hacer jaque mate sólo con un ca­ba­llo y el rey, lo mismo da que se pos­tu­le el mejor o el peor aje­dre­cis­ta. Toda pe­ri­cia, en de­fen­sa o en ata­que, es aquí su­per­flua; mover, en­ton­ces, se vuel­ve tan ne­ce­sa­rio como in­di­fe­ren­te. Las ta­blas vie­nen a exi­mir­nos de esa ne­ce­si­dad por­que ya no hay razón (su­fi­cien­te) para hacer al­gu­na mo­vi­da en vez de otra (el burro de Bu­ri­dán copa la es­ce­na de una li­ber­tad tan vasta que se con­fun­de con la con­tin­gen­cia, como supo ver Scho­pen­hauer). La razón del jugar se ha vuel­to tau­to­ló­gi­ca, ha que­da­do atra­pa­da en el radio mismo de la ac­ción; el ju­ga­dor mueve sin otra fi­na­li­dad que el mover y sin otra causa que su obli­ga­ción re­gla­men­ta­ria.
La sig­ni­fi­ca­ción es la di­men­sión del sen­ti­do que co­rres­pon­de a la gra­má­ti­ca del juego; la razón, la di­men­sión que co­rres­pon­de a su prác­ti­ca (ajena al re­gla­men­to, le es vital al ju­ga­dor, que no juega —y que nada in­ter­pre­ta— sin una jus­ti­fi­ca­ción o una mo­ti­va­ción; en la má­xi­ma es­ca­la, a esa razón se la llama sen­ti­do de la vida). Cuan­do las di­fe­ren­cias de es­ti­lo son irre­le­van­tes, el sen­ti­do del juego se ve re­du­ci­do a su di­men­sión gra­ma­ti­cal: sólo sig­ni­fi­ca­ción (ju­ga­das le­gí­ti­mas, co­rrec­tas), nada de razón (ju­ga­das sin te­mo­res ni es­pe­ran­zas). El re­gla­men­to, con una ley su­ple­men­ta­ria, hace que el juego cese cuan­do los ju­ga­do­res so­bran, cuan­do sus actos se vuel­ven ino­cuos.

Las im­po­si­bi­li­da­des de­ri­va­das de las leyes de un juego re­pre­sen­tan una li­mi­ta­ción de vo­lu­men del poder de un su­je­to; lo afec­tan cuan­ti­ta­ti­va­men­te, ya que si­túan su ejer­ci­cio entre un grado mí­ni­mo (su­pe­rior a la nu­li­dad) y uno má­xi­mo (in­fe­rior a la to­ta­li­dad). En cam­bio, el azar y el des­tino afec­tan cua­li­ta­ti­va­men­te el poder de un ju­ga­dor: lo nie­gan. El con­cep­to de azar priva de razón —no de causa— a los acon­te­ci­mien­tos; el con­cep­to de des­tino los sa­tu­ra de razón. En el cón­cla­ve entre la Razón, el Azar y el Des­tino, se de­ba­te, ante cada su­ce­so, si un su­je­to actuó o no actuó (sino que algo ocu­rrió, ajeno a su poder) y, en caso afir­ma­ti­vo, si actuó libre o sólo cum­plió con un li­bre­to fatal. El pri­mer di­le­ma lo en­fren­ta al azar, el se­gun­do al des­tino; en la al­ter­na­ti­va ad­ver­sa de cada caso, su poder es ne­ga­do: o no hay obra en ab­so­lu­to o la obra es ajena.

Las li­mi­ta­cio­nes de un ju­ga­dor son tam­bién las del juego que de­li­mi­ta su li­ber­tad de ac­ción. Si se mira bien, nin­gu­na pa­ra­do­ja per­pe­tra una ac­ción con­tra­dic­to­ria: lo que hace cual­quie­ra de ellas es pre­ci­sa­men­te pa­ra­li­zar el juego, in­hi­bir la ac­ción en razón de un im­pe­ra­ti­vo con­tra­dic­to­rio que sus­pen­de toda de­ci­sión. Dicho de otro modo, la con­tra­dic­ción es modal o deón­ti­ca, pero nunca fác­ti­ca: lo que entra en con­tra­dic­ción no son he­chos, sino la ne­ce­si­dad y la im­po­si­bi­li­dad de un hecho (o la obli­ga­ción y la prohi­bi­ción de ge­ne­rar­lo). No hay, en rigor, re­sul­ta­dos ab­sur­dos (con­su­ma­dos), sino cuen­tas in­so­lu­bles (plan­tea­das).
Vamos a ver dos tipos de cuen­tas in­so­lu­bles, de in­de­ci­di­bi­li­da­des, de pa­ra­do­jas. En ambas cla­ses es­ta­rá in­vo­lu­cra­do un turno de juego, uno li­mi­nal e inal­can­za­ble y el otro tar­dío. Tanto en el es­ce­na­rio del lí­mi­te como en el de la ins­crip­ción tar­día se monta una igual­dad con­tra­dic­to­ria, que es lo que los em­pa­rien­ta como pa­ra­do­jas.

3. Pa­ra­do­jas li­mi­na­les

Entre aque­llas pa­ra­do­jas que con­sis­ten en una su­ce­sión in­fi­ni­ta con­ver­gen­te cuyo lí­mi­te de­pa­ra un ab­sur­do, el mo­de­lo es el re­la­to de la lám­pa­ra de Thom­son. En la os­cu­ri­dad de su cuar­to, el in­som­ne James Thom­son tarda un mi­nu­to en en­cen­der la lám­pa­ra de su mesa de luz (+1). Se arre­pien­te y en medio mi­nu­to la apaga (–1). Tarda un cuar­to de mi­nu­to en pren­der­la de nuevo (+1) y un oc­ta­vo en vol­ver a apa­gar­la (–1). Así, en la ru­ti­na per­pe­tua de su ve­lei­dad, cada acto dura la mitad del an­te­rior. La suma de estas du­ra­cio­nes con­ver­ge en los 2 mi­nu­tos: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +... = 2. ¿Cómo está la lám­pa­ra en ese ins­tan­te: en­cen­di­da (1) o apa­ga­da (0)? La serie in­fi­ni­ta “1–1+1–1+1–1...” es una mo­nó­to­na os­ci­la­ción entre los va­lo­res 0 y 1. A los 2 mi­nu­tos, la lám­pa­ra está en­cen­di­da y apa­ga­da (vio­la­ción del prin­ci­pio de no con­tra­dic­ción) y ni en­cen­di­da ni apa­ga­da (vio­la­ción del prin­ci­pio de ter­ce­ro ex­clui­do). La dis­yun­ción cede el go­bierno a la con­jun­ción: se com­bi­nan los es­ta­dos ex­clu­yen­tes y se com­bi­nan los com­bos de es­ta­dos ex­clu­yen­tes. No se trata de que en ese lí­mi­te pueda de­du­cir­se cual­quier cosa; se trata de que deben de­du­cir­se todas, sin re­nun­cias ni li­ber­tad.

3.1. Aqui­les y la tor­tu­ga

«El se­gun­do ar­gu­men­to, co­no­ci­do como “Aqui­les”, es este: el co­rre­dor más lento nunca podrá ser al­can­za­do por el más veloz, pues el per­se­gui­dor ten­dría que lle­gar pri­me­ro al punto desde donde par­tió el per­se­gui­do, de tal ma­ne­ra que el co­rre­dor más lento man­ten­drá siem­pre la de­lan­te­ra.»

Aris­tó­te­les, Fí­si­ca, VI, 9, 239b 10-30

No todo lí­mi­te de una serie in­fi­ni­ta con­ver­gen­te de­pa­ra un ab­sur­do. Al­gu­nos in­clu­so hacen cesar un “ab­sur­do” en­quis­ta­do en la su­ce­sión y res­ti­tu­yen el sen­ti­do común in­fi­ni­ta­men­te de­frau­da­do. Entre éstos se en­cuen­tran el lí­mi­te al que con­ver­ge la fa­mo­sa per­se­cu­ción de Aqui­les sobre la tor­tu­ga y el lí­mi­te al que con­ver­ge la per­pe­tua par­ti­ción de un palo en que se ejer­ci­ta­ban unos so­fis­tas chi­nos. Para em­pe­zar, re­lle­ne­mos una vez más el ar­gu­men­to que ofre­ce Aris­tó­te­les de la apo­ría de Zenón.
A un metro por se­gun­do, su­pon­ga­mos que Aqui­les corre el doble que la tor­tu­ga, a la que le da una ven­ta­ja de 4 me­tros. A las 9:00:00 se ini­cia la ca­rre­ra. A las 9:00:04, Aqui­les cu­brió los 4 me­tros de ven­ta­ja pero la tor­tu­ga se alejó 2 me­tros; a las 9:00:06, Aqui­les hizo esos 2 me­tros y la tor­tu­ga se alejó 1; a las 9:00:07, Aqui­les cu­brió ese metro y la tor­tu­ga se le es­ca­pó medio metro; etc. Así, en los 8 se­gun­dos de que dis­po­ne, Aqui­les no des­con­ta­rá la ven­ta­ja ini­cial de 4 me­tros si no “toca” una in­fi­ni­dad de hue­llas fres­cas, las que va de­jan­do a su paso esa meta fu­gi­ti­va que es la tor­tu­ga. Entre la línea de lar­ga­da (0) y la meta (1), los pun­tos de la pista que hemos da­ta­do si­guen esta pro­gre­sión: 1/2, 3/4, 7/8, 15/16,... 1, que tam­bién puede ex­pre­sar­se así: (2¹–1)/2¹, (2²–1)/2², (2³–1)/2³, (2⁴–1)/2⁴,... (2^ℵo–1)/2^ℵo (lo que equi­va­le a 2^ℵo/2^ℵo = 1).
La per­se­cu­ción de la tor­tu­ga puede can­jear­se por el viaje so­li­ta­rio de un Aqui­les que, para cu­brir los 8 me­tros que lo se­pa­ran de su meta, se le da por re­du­cir cada vez a la mitad la lon­gi­tud de su úl­ti­mo paso (si en vez de eso la re­pi­tie­ra, en lugar de pasar a otro pe­núl­ti­mo paso lle­ga­ría a des­tino). De la meta, este Aqui­les siem­pre es­ta­rá a un tramo idén­ti­co al úl­ti­mo rea­li­za­do: cuan­do esté en 1/2, le fal­ta­rá 1/2 para 2/2 = 1; cuan­do esté en 3/4, le fal­ta­rá 1/4 para 4/4 = 1; etc. En el lí­mi­te, el pe­núl­ti­mo paso y el úl­ti­mo, que ma­te­má­ti­ca­men­te coin­ci­den —(2^ℵo–1)/2^ℵo = 2^ℵo/2^ℵo—, son uno, lo que acaso cons­ti­tu­ye una re­duc­ción al ab­sur­do de la po­si­bi­li­dad de que la pro­gre­sión —in­fi­ni­ta como es— tenga un úl­ti­mo tér­mino.
El Aqui­les so­li­ta­rio de esta ima­gi­na­ción y el de Zenón nunca in­te­rrum­pen su mar­cha; el de Adolf Grünbaum (“Can an In­fi­ni­tu­de of Ope­ra­tions be Per­for­med in a Fi­ni­te Time?”, en The Bri­tish Jour­nal for the Phi­lo­sophy of Scien­ce 20, 1969; pp. 203-218), un Aqui­les ‘stac­ca­to’ adi­cio­nal, re­co­rre la mitad de la pista en la mitad del tiem­po que el Aqui­les con­ti­nuo del ori­gi­nal (son las 9:00:02), se de­tie­ne a des­can­sar un lapso idén­ti­co al em­plea­do y en­ton­ces reanu­da su mar­cha, en el pre­ci­so ins­tan­te en que el otro lo al­can­za (son las 9:00:04), y así si­guien­do. A las 9:00:08, el con­ti­nuo y el dis­con­ti­nuo lle­gan a la meta. Este se­gun­do Aqui­les des­obe­de­ce la prohi­bi­ción aris­to­té­li­ca de rea­li­zar una serie in­fi­ni­ta de ta­reas dis­cre­tas en un tiem­po fi­ni­to (lee­mos en Fí­si­ca, VI, 2, 233a 25: «Cier­ta­men­te, no es po­si­ble du­ran­te un tiem­po fi­ni­to tocar cosas que sean in­fi­ni­tas por su can­ti­dad, pero se las puede tocar si son in­fi­ni­tas por su di­vi­sión», que no es el caso de la in­fi­ni­tud de via­jes que hace el Aqui­les ‘stac­ca­to’ en 8 se­gun­dos).
Vol­va­mos a la ca­rre­ra ori­gi­nal: desde la ven­ta­ja ini­cial de 4 me­tros, Aqui­les va re­du­cien­do esa bre­cha hasta anu­lar­la en el lí­mi­te de la pro­gre­sión: 4, 2, 1, 1/2, 1/2², 1/2³, 1/2⁴,... 1/2^ℵo = 0 metro, exac­ta­men­te en el punto de los (2^ℵo–1 = 2^ℵo)/2^ℵo, es decir, en 1, la meta, donde la ca­rre­ra se em­pa­ta y los co­rre­do­res se en­cuen­tran. En ese en­cuen­tro, tan im­po­si­ble como es­pe­ra­do, es donde co­mien­za la ver­sión de Lewis Ca­rroll, con la tor­tu­ga pro­po­nién­do­le a Aqui­les una ca­rre­ra con dis­tan­cias cre­cien­tes (di­ver­gen­tes y de ca­rác­ter ló­gi­co) en vez de men­guan­tes (con­ver­gen­tes y de ca­rác­ter fí­si­co): «¿te gus­ta­ría saber de una pista de ca­rre­ras, que la ma­yo­ría de la gente ima­gi­na que puede com­ple­tar en dos o tres pasos, cuan­do en reali­dad con­sis­te en un in­fi­ni­to nú­me­ro de dis­tan­cias, cada una más larga que la an­te­rior?». Para nues­tros fines, nos man­ten­dre­mos en la va­rian­te ori­gi­nal de dis­tan­cias pro­gre­si­va­men­te men­guan­tes.

3.2. Aqui­les y la tor­tu­ga y el palo y la lám­pa­ra

«Hui Shih es mul­ti­la­te­ral. Con sus li­bros hay para car­gar cinco ca­rros. Su doc­tri­na es com­ple­ja e in­cohe­ren­te. [...] El potro huér­fano jamás tuvo madre. Cor­tan­do cada día una mitad a un palo de un pie de largo, no se aca­ba­rá en diez mil si­glos. Los dia­léc­ti­cos so­fis­tas dis­cu­tían con Hui Shih de estas cosas, sin aca­bar sus dispu­tas en toda su vida.»

Pa­rá­gra­fo 9 del ca­pí­tu­lo 33 “El mundo”, Libro Ter­ce­ro, de Chuang-Tzu, Pen­sa­mien­to fi­lo­só­fi­co (Ca­ra­cas, Monte Ávila Edi­to­res, 1993, pp. 250 y 251; tra­duc­ción de Car­me­lo Elor­duy S. J.).

A otras pie­zas de in­ter­mi­na­ble ago­nía les es­pe­ra la nada (a la ma­ne­ra kaf­kia­na, lo que es vano como es­pe­ra es ri­gu­ro­so como re­sul­ta­do). Desde el siglo III a.C., unos so­fis­tas chi­nos eli­mi­nan cada día la mitad de un palo, que em­pe­zó mi­dien­do unos 30 cen­tí­me­tros (les que­dan unos 9.976 si­glos de com­pro­mi­so). Ac­tua­li­za­dos los lí­mi­tes de sus se­ries in­fi­ni­tas, las dos his­to­rias se re­con­ci­lian con el sen­ti­do común: Aqui­les al­can­za a la tor­tu­ga y el palo se anula.
Las dos tie­nen pro­ce­sos con­tra­in­tui­ti­vos. La his­to­ria de la lám­pa­ra de Thom­son, en cam­bio, tiene re­sul­ta­dos es­tric­ta­men­te pa­ra­dó­ji­cos, con­tra­dic­cio­nes li­mi­na­les. Las pa­ra­do­jas de la lám­pa­ra se ve­ri­fi­can en la meta; las per­ple­ji­da­des re­ti­cen­tes de la ca­rre­ra (el más veloz no al­can­za al más lento) y de la dis­mi­nu­ción (el palo no se anula) se ve­ri­fi­can en la ruta que con­du­ce in­fi­ni­ta­men­te a una meta que, por esa razón, se fi­gu­ra im­po­si­ble, para per­pe­tua­ción de esas per­ple­ji­da­des. (Las tra­ge­dias kaf­kia­nas se eri­gen ubi­can­do en una es­ce­na si­mi­lar a al­guien que se con­su­me es­pe­ran­do —un arri­bo o una au­to­ri­za­ción: el súb­di­to de “Un men­sa­je im­pe­rial”, el cam­pe­sino de “Ante la Ley”— o in­ten­tan­do —el men­sa­je­ro real, el ban­ca­rio Jo­seph K., el agri­men­sor K., el cam­pe­sino otra vez, con sus sú­pli­cas y so­bor­nos al guar­dián.)

4. Pa­ra­do­jas de lo que se agru­pa

Entre las pa­ra­do­jas que con­sis­ten en el di­le­ma per­pe­tuo de hacer o no miem­bro de un con­jun­to al pro­pio con­jun­to, re­cor­de­mos la de Rus­sell, sobre el con­jun­to de los con­jun­tos que no son miem­bros de sí mis­mos. Al­gu­nos de sus miem­bros son el con­jun­to de los avio­nes, que no es un avión; el con­jun­to de los gla­cia­res, que no es un gla­ciar; etc. La co­lec­ción de con­jun­tos pro­si­gue sin in­con­ve­nien­tes, hasta que nos plan­tea­mos si ella misma, que está lla­ma­da a ser un con­jun­to, debe o no ser co­lec­cio­na­da. Si lo ha­ce­mos, pasa a ser un con­jun­to que se tiene por miem­bro de sí mismo, por lo que no de­be­ría per­te­ne­cer a la co­lec­ción; si no lo ha­ce­mos, pasa a ser un con­jun­to que no se tiene a sí mismo por miem­bro, por lo que de­be­ría per­te­ne­cer a la co­lec­ción. A di­fe­ren­cia de lo que ocu­rre con los otros con­jun­tos de la co­lec­ción, en ella la con­di­ción a ve­ri­fi­car es con­se­cuen­cia de la de­ci­sión a la que debe dar lugar; el di­le­ma es irre­so­lu­ble por­que el dato ne­ce­sa­rio para re­sol­ver­lo, que de­be­ría estar dado de an­te­mano, se ge­ne­ra una vez que se lo re­suel­ve.

Para un con­jun­to, la con­se­cuen­cia de tener que per­te­ne­cer al nivel que lo pre­su­po­ne es la au­to­co­lec­ción; para una afir­ma­ción, la au­to­im­pli­ca­ción. En las pa­ra­do­jas que les con­cier­nen, una y otra re­fle­xión apor­tan la cir­cuns­tan­cia ne­ce­sa­ria en la que una de­ci­sión no podrá ter­mi­nar de to­mar­se, ato­ra­da en una igual­dad con­tra­dic­to­ria. En la pa­ra­do­ja de Rus­sell, esa de­ci­sión es la de cesar la apli­ca­ción de una mem­bre­sía (o sea, la de ce­rrar un con­jun­to). En las lla­ma­das pa­ra­do­jas se­mán­ti­cas, esa de­ci­sión es la de cesar la apli­ca­ción de una afir­ma­ción (o sea, la de ve­ri­fi­car­la). Vea­mos uno de estos casos.

5. Pa­ra­do­jas de lo que se afir­ma

Ma­nus­cri­to ilus­tra­do de Lewis Ca­rroll de Alice's Ad­ven­tu­res Under Ground

—Que el ju­ra­do con­si­de­re su ve­re­dic­to —dijo el Rey, por vi­gé­si­ma vez en el día.
—¡No, no! —dijo la Reina—. La sen­ten­cia pri­me­ro, el ve­re­dic­to des­pués.
—¡Ab­sur­do y sin­sen­ti­do! —dijo Ali­cia, le­van­tan­do mucho la voz—. ¡Esa idea de dic­tar pri­me­ro la sen­ten­cia...!

Lewis Ca­rroll, Los li­bros de Ali­cia, Bue­nos Aires, Edi­cio­nes De La Flor, 1998, pá­gi­na 113; tra­duc­ción de Eduar­do Stil­man

La va­rian­te de la pa­ra­do­ja del men­ti­ro­so que fi­gu­ra en el ca­pí­tu­lo LI de la Se­gun­da Parte del Qui­jo­te se deja glo­sar de un modo si­mi­lar a la pa­ra­do­ja de Rus­sell. El caso es re­fe­ri­do por un fo­ras­te­ro que con­sul­ta a San­cho Panza, go­ber­na­dor de la ín­su­la Ba­ra­ta­ria. Un señor feu­dal ha dis­pues­to que todo aquel que pre­ten­da cru­zar un río por el puen­te de su pro­pie­dad de­be­rá de­cla­rar cuál es el des­tino y el pro­pó­si­to de su viaje. Si el ca­mi­nan­te dice la ver­dad, pasa; si mien­te, es col­ga­do de una horca con­ti­gua al puen­te. In­te­rro­ga­do, un hom­bre jura que su des­tino será morir en la horca.
En los casos nor­ma­les, los jue­ces sólo ne­ce­si­tan re­sol­ver si el hom­bre cum­plió o in­cum­plió su ju­ra­men­to para re­sol­ver si lo dejan pasar o si lo ahor­can. En el caso pa­ra­do­jal, ne­ce­si­tan tam­bién re­sol­ver si lo dejan pasar o si lo ahor­can para re­sol­ver si cum­plió o in­cum­plió su ju­ra­men­to. Si los jue­ces lo de­ja­sen pasar, lo ha­rían men­ti­ro­so, por lo que de­be­rían ahor­car­lo (o ha­ber­lo ahor­ca­do). Si lo ahor­ca­sen, lo ha­rían veraz, por lo que de­be­rían de­jar­lo pasar (o ha­ber­lo de­ja­do pasar). La con­di­ción para pasar o ser col­ga­do es con­se­cuen­cia de la de­ci­sión a la que debe dar lugar; el ve­re­dic­to tiene que ser pos­te­rior a la eje­cu­ción de la sen­ten­cia, que es más de lo que pre­ten­día la Reina de Co­ra­zo­nes.
Con un ju­ra­men­to así, decir la ver­dad o men­tir ter­mi­na sien­do la con­se­cuen­cia de aque­llo (el per­mi­so o la con­de­na) de lo cual no re­nun­cia a ser la causa, y vi­ce­ver­sa: dejar pasar o ahor­car ter­mi­na sien­do la causa de aque­llo (cum­plir o in­cum­plir el ju­ra­men­to) de lo que no puede dejar de ser una con­se­cuen­cia. Lo que de­be­ría ser su­ce­si­vo es si­mul­tá­neo. Com­pa­re­mos esta al­te­ra­ción con la del úl­ti­mo ab­sur­do de las Aven­tu­ras de Ali­cia en el País de las Ma­ra­vi­llas.

En el jui­cio a la Sota de Co­ra­zo­nes, acu­sa­da de robar unas tar­tas que la Reina había pre­pa­ra­do, ésta pide que el ve­re­dic­to sea pos­te­rior a la sen­ten­cia. En este epi­so­dio, la re­la­ción de cau­sa­li­dad está in­ver­ti­da; en el del puen­te, la (ne­ce­si­dad de) si­mul­ta­nei­dad la vuel­ve in­via­ble: el pro­ble­ma no es exac­ta­men­te que la con­se­cuen­cia sea an­te­rior a la causa, sino que debe ser con­se­cuen­cia y causa a la vez y en una misma ins­tan­cia.
Un orden in­ver­so sigue sien­do un orden, por­que los tér­mi­nos se man­tie­nen en al­gu­na re­la­ción de su­ce­sión. En cam­bio, dos tér­mi­nos si­mul­tá­neos o de su­ce­sión in­de­ci­di­ble no si­guen un orden, ni cau­sal ni con­tra-cau­sal. Así, la pa­ra­do­ja hace algo dis­tin­to a sub­ver­tir, a des­or­de­nar: ig­no­ra o ma­lo­gra la re­la­ción que ne­ce­si­ta cual­quier orden. Si que­re­mos pur­gar de año­ran­za el es­pec­tácu­lo, po­de­mos ver en la ac­tua­ción de una pa­ra­do­ja tal el ins­tan­te pre­ci­so del pa­sa­je de lo su­ce­si­vo a lo si­mul­tá­neo, que es el ins­tan­te de una igual­dad con­tra­dic­to­ria.

6. La igual­dad con­tra­dic­to­ria

En su pri­me­ra opi­nión, San­cho acon­se­ja que se sec­cio­ne al nuevo Epi­mé­ni­des, para que se le con­ce­da el paso a su parte veraz y se con­de­ne a su parte men­ti­ro­sa. La as­tu­cia que usó el rey Sa­lo­món fren­te al re­cla­mo de dos mu­je­res por un bebé no es aquí un medio para lle­gar a un fallo justo (juz­gan­do la reac­ción de las dos mu­je­res), sino el ejer­ci­cio mismo de la jus­ti­cia. Pero se trata de un ejer­ci­cio equí­vo­co: aun­que el hom­bre pu­die­se so­bre­vi­vir a esa ci­ru­gía —tal cual es la ob­je­ción del con­sul­tan­te—, su di­vi­sión sería im­po­si­ble o falsa; es todo él quien a la vez mien­te y dice la ver­dad, sin frag­men­ta­ción ni des­do­bla­mien­to al­guno.
La igual­dad in­con­sis­ten­te no es so­lu­cio­na­ble con un em­pa­te por­que su valor no es di­vi­si­ble. Mejor dicho: su di­vi­sión no pro­du­ce di­fe­ren­cia, no al­te­ra la re­la­ción. Los frag­men­tos son igua­les al todo: cada ‘parte’ del via­je­ro sec­cio­na­do con­ten­dría tanta ver­dad y tanta fal­se­dad como sea po­si­ble asig­nar; cada com­pe­ti­dor pa­ra­dó­ji­co aca­pa­ra tan­tos pun­tos como el total de pun­tos a re­par­tir. Análo­ga­men­te, las par­tes de un con­jun­to in­fi­ni­to pue­den medir lo mismo que el pro­pio con­jun­to. (Dejo el tema de esta analo­gía y las otras ope­ra­cio­nes que la sus­ten­tan para otro en­sa­yo.)

La se­gun­da y úl­ti­ma pro­pues­ta para su­perar el di­le­ma se abor­da desde afue­ra. Con­ven­ci­do de que una ecua­ni­mi­dad es­tric­ta es im­prac­ti­ca­ble, San­cho in­vo­ca un pre­cep­to de mi­se­ri­cor­dia si­mi­lar al del be­ne­fi­cio de la duda y re­co­mien­da li­qui­dar el asun­to fa­vo­re­cien­do al hom­bre. Ante la inuti­li­dad de ser un buen ló­gi­co, San­cho optó por ser un juez be­ne­vo­len­te. Entre esta ge­ne­ro­si­dad y la mez­quin­dad de una con­de­na (ambas sin ra­zo­nes de­fi­ni­ti­vas que las sus­ten­ten), se ubica la op­ción no en­sa­ya­da de re­cha­zar­le el pe­di­do al hom­bre y sen­tar ju­ris­pru­den­cia: en ade­lan­te, sólo se acep­ta­rán ju­ra­men­tos no pa­ra­dó­ji­cos (la misma ex­clu­sión de casos con­flic­ti­vos que con­si­gue la arit­mé­ti­ca con sus ex­cep­cio­nes).
En la fun­da­men­ta­ción de su con­se­jo final, San­cho de­mues­tra tener una clara com­pren­sión de la igual­dad con­tra­dic­to­ria que hace a la pa­ra­do­ja. Le dice al en­via­do:

«...este pa­sa­je­ro que decís, o yo soy un porro, o él tiene la misma razón para morir que para vivir y pasar la puen­te; por­que si la ver­dad le salva, la men­ti­ra le con­de­na igual­men­te; y sien­do esto así, como lo es, soy de pa­re­cer que di­gáis a esos se­ño­res que a mí os en­via­ron que, pues están en un fil las ra­zo­nes de con­de­nar­le o asol­ver­le, que le dejen pasar li­bre­men­te, pues siem­pre es ala­ba­do más el hacer bien que mal.»

7. El tiem­po de las pa­ra­do­jas

Esta be­ne­vo­len­cia ex­te­rior es la no­ve­dad que le apor­ta la fá­bu­la cer­van­ti­na a su an­te­ce­sor, un di­le­ma atri­bui­do a los so­fis­tas grie­gos del siglo V a.C. Un co­co­dri­lo ha atra­pa­do a un bebé en la ori­lla de un río y le pro­po­ne a su madre li­be­rar­lo si ella acier­ta qué hará él o de­vo­rar­lo si ella no acier­ta. La madre aven­tu­ra que lo que hará el co­co­dri­lo será co­mer­se a su bebé. Más cerca de no­so­tros, Bor­ges ima­gi­na que la única pre­gun­ta que un as­pi­ran­te a brujo es­cu­cha en su exa­men final lo insta a adi­vi­nar su suer­te en ese tran­ce; “Re­pro­ba­ré el exa­men”, con­tes­ta el as­pi­ran­te (ti­tu­la­do “El adi­vi­na­dor”, con este ar­gu­men­to Bor­ges cie­rra el ar­tícu­lo “Dos an­ti­guos pro­ble­mas”, com­pi­la­do en Tex­tos re­co­bra­dos 1931·1955, Emecé, Bue­nos Aires, 2001, pá­gi­na 91).
Las pa­ra­do­jas —ló­gi­cas o se­mán­ti­cas— nunca nos re­mi­ten al pa­sa­do, donde sólo hay he­chos con­su­ma­dos, sino siem­pre al fu­tu­ro de una de­ci­sión que debe y no puede to­mar­se (de­li­mi­tar el al­can­ce de una mem­bre­sía o el de una afir­ma­ción). El fu­tu­ro de­ci­so­rio de la de­cla­ra­ción del men­ti­ro­so, que habla en pre­sen­te (“Mien­to” o “Todas mis afir­ma­cio­nes son fal­sas”), es in­mi­nen­te; el de ju­ra­men­tos y va­ti­ci­nios está ale­ja­do si­quie­ra un paso. Como el in­fi­ni­to po­ten­cial, las pa­ra­do­jas ponen en juego un lle­gar a ser.

8. Pa­ra­do­jas del tiem­po

De los tras­tro­ca­mien­tos ló­gi­co-tem­po­ra­les que per­pe­tran estas pa­ra­do­jas son inocen­tes los ab­sur­dos li­mi­na­les, como el del es­ta­do com­ple­jo de la lám­pa­ra de Thom­son a los 2 mi­nu­tos de ma­nio­bras (al turno de esta con­tra­dic­ción suele im­pug­nár­se­lo por la in­fi­ni­tud de su le­ja­nía, no por des­ór­de­nes de tiem­po o cau­sa­li­dad).
La ex­po­si­ción que to­le­ra­ron em­pa­rien­ta los di­le­mas de Rus­sell y de Cer­van­tes con el único tipo de re­la­to de via­jes en el tiem­po que me­re­ce el ró­tu­lo de pa­ra­do­ja. Sír­va­nos de mo­de­lo la glosa que hace Bor­ges de una no­ve­la de Henry James (cito de “La flor de Co­le­rid­ge”, en Otras in­qui­si­cio­nes, Bue­nos Aires, Emecé, 1994, pá­gi­na 25):

«En The sense of the past, el nexo entre lo real y lo ima­gi­na­ti­vo (entre la ac­tua­li­dad y el pa­sa­do) (...) es un re­tra­to que data del siglo XVIII y que mis­te­rio­sa­men­te re­pre­sen­ta al pro­ta­go­nis­ta. Éste, fas­ci­na­do por esa tela, con­si­gue tras­la­dar­se a la fecha en que la eje­cu­ta­ron. Entre las per­so­nas que en­cuen­tra, fi­gu­ra, ne­ce­sa­ria­men­te, el pin­tor; éste lo pinta con temor y con aver­sión, pues in­tu­ye algo des­acos­tum­bra­do y anó­ma­lo en esas fac­cio­nes fu­tu­ras... James crea, así, un in­com­pa­ra­ble re­gres­sus in in­fi­ni­tum, ya que su héroe, Ralph Pen­drel, se tras­la­da al siglo XVIII por­que lo fas­ci­na un viejo re­tra­to, pero ese re­tra­to re­quie­re, para exis­tir, que Pen­drel se haya tras­la­da­do al siglo XVIII. La causa es pos­te­rior al efec­to, el mo­ti­vo del viaje es una de las con­se­cuen­cias del viaje.»

Per­mu­tan­do re­tra­to por en­gen­dra­mien­to, el re­gres­sus de James es com­pa­ra­ble al de la pri­me­ra Ter­mi­na­tor: en el 2029, John Con­nor, líder de la re­sis­ten­cia hu­ma­na con­tra las má­qui­nas que do­mi­nan y es­cla­vi­zan, envía a 1984 al que será/ha sido su padre para fe­cun­dar a su madre, con la ex­cu­sa y la mi­sión de evi­tar que un Ter­mi­na­tor T-800 la mate antes de que sea madre del J.C. del fu­tu­ro (en esta fá­bu­la cris­tia­na in­ver­ti­da, es el hijo el que envía al padre). Si John Con­nor no hu­bie­ra na­ci­do y li­de­ra­do la re­sis­ten­cia, papá Kyle Reese no ha­bría sido en­via­do al pa­sa­do para evi­tar que lo evi­ta­ran; si no hu­bie­se sido en­via­do al pa­sa­do, John Con­nor no ha­bría na­ci­do. El en­via­do pro­vo­ca lo que debe evi­tar que no se pro­vo­que. Hecha la men­ción, re­to­mo la línea del re­tra­to.

Más que in­ver­tir los tur­nos de una causa y una con­se­cuen­cia, la pa­ra­do­ja de James los vuel­ve si­mul­tá­neos al hacer de cada hecho la causa y la con­se­cuen­cia del otro; nue­va­men­te, como en la pa­ra­do­ja del puen­te y la horca, esos roles son asu­mi­dos a la vez y con igual de­re­cho y ne­ce­si­dad por cada uno de los acon­te­ci­mien­tos que de­be­rían re­par­tír­se­los. Como entre es­pe­jos en­fren­ta­dos, entre la rea­li­za­ción del re­tra­to y el viaje del re­tra­ta­do la his­to­ria se re­pro­du­ce in­fi­ni­ta­men­te (en lugar de una au­to­rre­fe­ren­cia, como la au­to­in­clu­sión del con­jun­to de Rus­sell, hay acá un juego de re­fe­ren­cias cru­za­das, como el bucle de un link que tiene por meta a aquel link que lo tiene por meta).
El re­gres­sus in in­fi­ni­tum es acaso el mayor ser­vi­cio ar­gu­men­tal que sabe pres­tar el in­fi­ni­to po­ten­cial. Basta de­mos­trar que el ori­gen o la causa de algo se re­mon­ta a una in­fi­ni­tud para ha­cer­lo des­va­ne­cer. El me­ca­nis­mo re­quie­re que la re­gre­sión re­pi­ta li­neal­men­te sus pasos, sin vol­ver sobre nin­guno, sin en­trar en loop. El re­bo­te in­ce­san­te entre la rea­li­za­ción del re­tra­to y el viaje del re­tra­ta­do opera un cie­rre cir­cu­lar del re­gres­sus, que es acaso lo que Bor­ges ve en él de “in­com­pa­ra­ble”.
En su ca­li­dad de causa del cua­dro que lo mo­ti­va (o de con­di­ción de po­si­bi­li­dad, si se pre­fie­re), el viaje de Pen­drel no viene a in­te­rrum­pir ni a des­viar la his­to­ria, sino a con­ti­nuar­la. La con­ti­nua­ción es fan­tás­ti­ca o pro­di­gio­sa, tal vez anó­ma­la, pero tam­bién es ri­gu­ro­sa; hace que la his­to­ria se cie­rre sobre sí, con lo que ad­quie­re su forma cir­cu­lar o re­cur­si­va: puede de­cir­se que el cen­tro de la no­ve­la de James es el re­tra­to del que viaja mo­ti­va­do por el re­tra­to (del que viaja mo­ti­va­do por el re­tra­to (del que viaja mo­ti­va­do por el re­tra­to...)). (La in­fi­ni­tud, que en la fuga re­fe­ren­cial se des­pa­rra­ma, en la au­to­rre­fe­ren­cia está aden­sa­da: la pre­gun­ta au­to­rre­fe­ren­cial «¿Te mo­les­ta que te haga esta pre­gun­ta?» se ana­li­za en la irres­ta­ña­ble­men­te re­cur­si­va «¿Te mo­les­ta que te haga la pre­gun­ta: “¿te mo­les­ta que te haga la pre­gun­ta: ‘¿te mo­les­ta que te haga la pre­gun­ta... ...?’?”?».)
El po­ten­cial in­fi­ni­to de la au­to­rre­fe­ren­cia, aun cuan­do no le sea ex­clu­si­vo y acom­pa­ñe las re­fe­ren­cias cru­za­das, suele serle fa­mi­liar a la pa­ra­do­ja, acaso por­que una ca­pa­ci­dad de re­mi­sión ili­mi­ta­da (una se­miosis ili­mi­ta­da, diría Char­les Peir­ce) es in­he­ren­te a aquel juego de cuyos lí­mi­tes es ex­hi­bi­ción la pa­ra­do­ja: el juego del sen­ti­do, el len­gua­je.
Dejo el tema de la au­to­in­clu­sión (una va­rian­te de la au­to­rre­fe­ren­cia) para otro en­sa­yo.

9. Ne­ga­ción y con­tra­dic­ción

A los fines de for­jar una de­fi­ni­ción, el mismo ser­vi­cio pres­ta la có­pu­la de per­te­ne­cer a un con­jun­to es ser miem­bro de un con­jun­to que una im­pli­ca­ción de doble mano: si algo per­te­ne­ce a un con­jun­to, es miem­bro de un con­jun­to; si algo es miem­bro de un con­jun­to, per­te­ne­ce a un con­jun­to. Un tér­mino es con­di­ción de otro que a su vez lo con­di­cio­na: un círcu­lo tal im­por­ta una equi­va­len­cia entre los con­cep­tos in­vo­lu­cra­dos (de hecho, en ló­gi­ca sim­bó­li­ca a esta re­la­ción de coim­pli­ca­ción o bi­con­di­cio­nal se le da tam­bién el nom­bre de equi­va­len­cia).
Más tarde o más tem­prano, la con­tra­dic­ción en la que desem­bo­ca cual­quier va­rian­te de la pa­ra­do­ja del men­ti­ro­so puede for­mu­lar­se como una im­pli­ca­ción re­cí­pro­ca; de la ora­ción «Esta ora­ción es falsa» puede de­cir­se que si es ver­da­de­ra, es falsa, y si es falsa, es ver­da­de­ra (o tam­bién: es ver­da­de­ra si y sólo si es falsa). Otro tanto su­ce­de con cual­quier con­jun­to cuya au­to­per­te­nen­cia ge­ne­re una pa­ra­do­ja: Si es miem­bro de sí mismo, no es miem­bro de sí mismo; si no es miem­bro de sí mismo, es miem­bro de sí mismo. En de­fi­ni­ti­va, se pos­tu­la la equi­va­len­cia entre ser ver­da­de­ro y ser falso (que en una ló­gi­ca bi­va­len­te equi­va­le a no ser ver­da­de­ro) y entre ser miem­bro de sí mismo y no ser miem­bro de sí mismo.
Es fácil per­ci­bir o in­tuir que estas equi­va­len­cias son con­tra­dic­to­rias; pero si ade­más qui­sié­ra­mos jus­ti­fi­car­lo, de­be­ría­mos jus­ti­fi­car que la di­fe­ren­cia de ex­pre­sio­nes en juego im­pli­ca una di­fe­ren­cia de con­cep­tos (es decir, que las ex­pre­sio­nes com­pro­me­ti­das en esas equi­va­len­cias no son si­nó­ni­mas o co-re­fe­ren­cia­les, como su­ce­día en el caso de per­te­ne­cer a un con­jun­to y ser miem­bro de un con­jun­to). Para pro­veer esa jus­ti­fi­ca­ción, que nos re­por­ta­rá una de­fi­ni­ción de la con­tra­dic­ción, será útil de­fi­nir por sus efec­tos la ope­ra­ción de negar. Pero pre­via­men­te la de­fi­ni­re­mos por su ac­ción.

Para que la equi­va­len­cia re­sul­te ma­ni­fies­ta­men­te con­tra­dic­to­ria, una de las dos ex­pre­sio­nes par­ti­ci­pan­tes debe poder ser re­du­ci­da a la ne­ga­ción de la otra, si ya no lo es. En un juego con­cep­tual de 2 tér­mi­nos, como el de una ló­gi­ca bi­va­len­te, un tér­mino equi­va­le a la ne­ga­ción del otro: si no es de noche, es de día; si es de día, no es de noche. Lo único que está di­cien­do ese juego de im­pli­ca­cio­nes re­cí­pro­cas es que cada una de esas re­gio­nes con­cep­tua­les tiene a la otra por única ve­ci­na: si no se está en una, (es por­que) se está en la otra. Y si cada una de las tres re­gio­nes de una zona es li­mí­tro­fe de las otras dos, cada cual ne­ce­si­ta­rá no una sino dos ne­ga­cio­nes para decir todas sus fron­te­ras (o sea, para im­pli­car y ser im­pli­ca­da); por ejem­plo: si es de ma­ña­na, no es de tarde ni de noche; si no es de tarde ni de noche, es de ma­ña­na. Y en ge­ne­ral, si cada una de las n re­gio­nes de una zona es li­mí­tro­fe de las otras n–1, cada cual ne­ce­si­ta­rá n–1 ne­ga­cio­nes para de­li­mi­tar­se me­dian­te im­pli­ca­cio­nes re­cí­pro­cas (las ne­ga­cio­nes son sim­ple­men­te las fron­te­ras entre los con­cep­tos, el juego de sus di­fe­ren­cias).
Así, en un uni­ver­so de­fi­ni­do, la ne­ga­ción de un tér­mino da el com­ple­men­to de ese tér­mino en ese uni­ver­so; o sea, di­vi­de al uni­ver­so en el que opera en un in­te­rior (el tér­mino, lo que X es, la mis­mi­dad) y en un ex­te­rior (el com­ple­men­to, lo que X no es, la otre­dad). La mis­mi­dad se afir­ma ne­gan­do la otre­dad, que en un juego de dos con­cep­tos es sim­ple, en uno de 3 es doble y en uno de n es (n–1)-tuple. Y la otre­dad ya es una ne­ga­ción: no yo, no mismo que X. Luego, no otro es no (no yo), o sea, yo, si es que la otre­dad fue ne­ga­da en su com­ple­ta mul­ti­tud. (En la prác­ti­ca, la iden­ti­dad es un es­ta­do ideal de di­fe­ren­cia­ción ab­so­lu­ta, del que no se co­no­ce nin­gún caso real. Lo que nor­mal­men­te lla­ma­mos iden­ti­dad es un efec­to de dis­tin­cio­nes bá­si­cas, al menos su­fi­cien­tes, como un mar­gen es efec­to de ali­near el es­cri­to a 3 cen­tí­me­tros del borde de la hoja. Es decir, no es algo que se hace, sino que se hace al hacer otra cosa, que re­sul­ta: una ne­ga­ti­vi­dad. Las dis­tin­cio­nes que dejan la iden­ti­dad que per­ci­bi­mos o in­fe­ri­mos son las adop­ta­das por su ba­lan­ce entre lu­ci­dez y costo ener­gé­ti­co, ya que hay gasto en tra­ba­jar para “no meter a todos en la misma bolsa”.)
Cual­quier afir­ma­ción que res­pe­te esta di­ná­mi­ca es, más tarde o más tem­prano, una tau­to­lo­gía: A es dis­tin­to de no-A («A≠¬A»). Y lo es en vir­tud de que la ne­ga­ción, de­fi­ni­da por sus efec­tos, es tal que hace que un tér­mino y su ne­ga­ción no pue­dan ser co-re­fe­ren­cia­les.

Esta de­fi­ni­ción no re­quie­re que se es­ta­blez­ca a qué re­fie­re una ex­pre­sión (si a un ob­je­to o a un con­cep­to, por ejem­plo) ni qué sig­ni­fi­ca. Po­de­mos ig­no­rar qué sig­ni­fi­ca per­te­ne­cer a un con­jun­to, pero aun así sa­bre­mos que per­te­ne­cer a un con­jun­to y no per­te­ne­cer a un con­jun­to no son ex­pre­sio­nes que se re­fie­ran a lo mismo.
La pres­cin­den­te in­me­dia­tez de esa cer­te­za se debe a que las ex­pre­sio­nes no sólo di­fie­ren: tam­bién se des­di­cen mu­tua­men­te. El signo de di­fe­ren­cia (o la ne­ga­ción de igual­dad) que po­ne­mos entre ellas no nos dice nada que, gra­cias a la de­fi­ni­ción de ne­ga­ción, no nos diga ya la mera di­fe­ren­cia de sus for­mas («A/¬A»); tan tau­to­ló­gi­ca es la di­fe­ren­cia «A≠¬A» —o «¬(A=¬A)»— como la iden­ti­dad «A=A». Por su parte, las ex­pre­sio­nes per­te­ne­cer a un con­jun­to y ser miem­bro de un con­jun­to vi­si­ble­men­te di­fie­ren, pero no se des­di­cen. Por eso, vin­cu­lar­las me­dian­te un signo de igual­dad es estar afir­man­do algo que la di­fe­ren­cia de sus for­mas («A/B») no está en con­di­cio­nes de de­cir­nos ni de ne­gar­nos: es estar afir­man­do, si­quie­ra in­di­rec­ta­men­te, que tales ex­pre­sio­nes son co-re­fe­ren­cia­les (di­rec­ta­men­te, se afir­ma que los con­cep­tos u ob­je­tos a los que re­fie­ren son equi­va­len­tes).
En la ne­ga­ción de la pri­me­ra de las dos tau­to­lo­gías men­cio­na­das con­sis­te la con­tra­dic­ción a la que con­du­cen las pa­ra­do­jas de men­ti­ro­sos y co­lec­cio­nis­tas (ya sea que re­cu­rran a una re­fe­ren­cia re­fle­xi­va o a una cru­za­da —ambas re­cur­si­vas). Esa anti-tau­to­lo­gía tiene la forma, por lo tanto, de una iden­ti­dad de lo di­fe­ren­te (la otra, «A≠A», asume el ava­tar in­ver­so: el de una di­fe­ren­cia de lo idén­ti­co); la con­tra­dic­ción luce así: «¬(¬(A=¬A))» o, en su fór­mu­la sim­pli­fi­ca­da, «A=¬A». (Si se me per­mi­te la re­mi­nis­cen­cia pla­tó­ni­ca, la uni­dad en que de­be­ría re­sol­ver­se la igual­dad ha sido su­plan­ta­da aquí por una du­pli­ci­dad in­di­so­lu­ble e irre­duc­ti­ble; en la ac­ción y el efec­to de esa usur­pa­ción con­sis­te una pa­ra­do­ja.)
La ne­ga­ción niega la re­la­ción de co-re­fe­ren­cia­li­dad entre una ex­pre­sión y su ne­ga­ción. La con­tra­dic­ción niega lo que la ne­ga­ción niega: luego, afir­ma la re­la­ción de co-re­fe­ren­cia­li­dad entre una ex­pre­sión y su ne­ga­ción. Te­nien­do en cuen­ta la di­vi­sión que opera una ne­ga­ción, los ar­gu­men­tos que con­du­cen a esa igual­dad con­tra­dic­to­ria son, a su ma­ne­ra, pa­ra­do­jas de bi­lo­ca­ción: si la afir­ma­ción de Epi­mé­ni­des es ver­da­de­ra si y sólo si no es ver­da­de­ra, es­ta­mos a la vez en el in­te­rior de lo que es ser ver­da­de­ra la afir­ma­ción de Epi­mé­ni­des y en su ex­te­rior, en el no ser ver­da­de­ra la afir­ma­ción de Epi­mé­ni­des.

Cuan­do en el juego de la teo­ría de con­jun­tos o de la se­mán­ti­ca una pa­ra­do­ja con­du­ce a una equi­va­len­cia con­tra­dic­to­ria, dos leyes del juego del sen­ti­do cho­can; enun­cié­mos­las: las ex­pre­sio­nes de dos con­cep­tos equi­va­len­tes no pue­den no ser co-re­fe­ren­cia­les; una ex­pre­sión y su ne­ga­ción no pue­den ser co-re­fe­ren­cia­les. Por la pri­me­ra, la equi­va­len­cia que el bi­con­di­cio­nal es­ta­ble­ce, por ejem­plo, entre los con­cep­tos de per­te­ne­cer y no per­te­ne­cer obli­ga a la co-re­fe­ren­cia­li­dad de sus ex­pre­sio­nes; por la se­gun­da, esas ex­pre­sio­nes no pue­den ser co-re­fe­ren­cia­les, dado que una es la ne­ga­ción de la otra. En esta ins­tan­cia, no im­por­ta si las ex­pre­sio­nes re­fie­ren a un con­cep­to se­mán­ti­co o a uno con­jun­tis­ta; im­por­ta que son pie­zas obli­ga­das a lo mismo que se les prohí­be: com­par­tir el re­fe­ren­te.
Dejo el tema de las re­la­cio­nes de co-re­fe­ren­cia­li­dad para otro en­sa­yo.