La gradación

“Cada cien pasos una torre cor­ta­ba el aire; para los ojos el color era idén­ti­co, pero la pri­me­ra de todas era ama­ri­lla y la úl­ti­ma es­car­la­ta, tan de­li­ca­das eran las gra­da­cio­nes y tan larga la serie.”

Jorge Luis Bor­ges, “Pa­rá­bo­la del pa­la­cio”, en El Ha­ce­dor.

1. El con­cur­so

Con­si­de­re­mos dos per­so­nas de apa­rien­cias muy di­fe­ren­tes; por ejem­plo, Brad Pitt y Menem. La di­fe­ren­cia que hay entre ellos es muy gran­de, pero no in­sal­va­ble. ¿Cómo tran­si­tar el ca­mino que lleva de Brad Pitt a Menem? Sen­ci­llo: or­ga­ní­ce­se un con­cur­so de pa­re­ci­dos a Brad Pitt; si el ga­na­dor es X, or­ga­ní­ce­se en­ton­ces un con­cur­so de pa­re­ci­dos a X, en el que esté ex­clui­do Brad Pitt; si ahora el ga­na­dor es K, de­dí­que­se­le un con­cur­so de pa­re­ci­dos en el que X y Brad Pitt no pue­dan par­ti­ci­par; y así si­guien­do. Si antes de que se aca­ben los con­cur­sos Menem gana al­guno, la serie de todos los ga­na­do­res es el re­co­rri­do que lleva de Brad Pitt a Menem.
En algo si­mi­lar a este me­ca­nis­mo de con­cur­sos con­sis­te el juego de do­ble­tes idea­do por Lewis Ca­rroll. Esto se hace evi­den­te si, en vez de ir de Brad Pitt a Menem, ele­gi­mos ir de Mr. Ape a Mr. Man, por ejem­plo. La serie de ga­na­do­res, cada uno de los cua­les es ex­clui­do de los con­cur­sos si­guien­tes al que ganó, está in­te­gra­da por Mr. Are, Mr. Ere, Mr. Err, Mr. Ear, Mr. Mar y Mr. Man. Es como si, desde “ape”, cada pa­la­bra hu­bie­se ga­na­do un con­cur­so de pa­re­ci­dos a la pa­la­bra que la pre­ce­de en la serie.

En un sueño, todos los con­cur­san­tes ini­cia­les es­ta­ban en el cés­ped de un es­ta­dio de fút­bol y Brad Pitt, solo, en una tri­bu­na. La can­cha se iba des­po­blan­do y las tri­bu­nas lle­nan­do a me­di­da que avan­za­ba la jor­na­da. Ima­gi­ne­mos que la serie de­fi­ni­ti­va de ga­na­do­res traza un círcu­lo exac­to al­re­de­dor de las tri­bu­nas del es­ta­dio. Menem ha que­da­do al lado (a la de­re­cha) de Brad Pitt, que a su iz­quier­da tiene a X, el pri­mer ga­na­dor, se­gui­do del resto. Ir de Brad Pitt a Menem en una di­rec­ción es per­ci­bir de un golpe el abis­mo que los di­fe­ren­cia; ir en la otra es tran­si­tar­lo. Ese trán­si­to, que es si­mi­lar al de un re­co­no­ci­mien­to, será el epi­so­dio cen­tral de estas di­va­ga­cio­nes; de ahí sal­drán los temas que con­ver­se­mos.

1.1. El trán­si­to

Em­pe­ce­mos por ob­ser­var que el trán­si­to en sí mismo no tiene (no se de­fi­ne por tener) un des­tino, sino tan sólo un sen­ti­do: de lo más pa­re­ci­do a lo menos pa­re­ci­do a Brad Pitt. Es­ta­ble­cer como des­tino a Menem es darle un tér­mino ar­bi­tra­rio al viaje, que po­dría se­guir in­de­fi­ni­da­men­te si la can­ti­dad de con­cur­san­tes fuese inago­ta­ble. Pero el trá­mi­te y el ca­mino se­rían los mis­mos si qui­sié­ra­mos ir de Brad Pitt a, por ejem­plo, Ve­ro­ni­ka Ze­ma­no­va (ha de ser me­mo­ra­ble el pri­mer con­cur­so ga­na­do por una mujer). Ha­bien­do un ori­gen com­par­ti­do, un punto de par­ti­da común, no hay di­fe­ren­tes di­rec­cio­nes según a quién pon­ga­mos por meta. Lo que ha­ce­mos es ale­jar­nos de Brad Pitt y en el ca­mino nos to­pa­mos con Menem. El ale­ja­mien­to tiene una única ruta y ad­mi­te tan­tas metas como per­so­nas lo in­te­gren.
De­je­mos para más ade­lan­te la even­tua­li­dad de que Menem pier­da in­clu­so en el úl­ti­mo con­cur­so que nos per­mi­ta rea­li­zar la dis­po­ni­bi­li­dad de par­ti­ci­pan­tes. Pero in­sis­ta­mos en este re­qui­si­to: para que la serie re­pre­sen­te la gra­da­ción que va de Brad Pitt a Menem, sus tér­mi­nos –in­clui­do Menem, y sobre todo él– deben ser ne­ce­sa­ria­men­te ga­na­do­res de algún con­cur­so, en el que de­bie­ron haber com­pe­ti­do con al menos otra per­so­na. El re­gla­men­to se com­ple­ta así: para evi­tar re­pe­ti­cio­nes ocio­sas, con­ven­ga­mos que si al­guien es idén­ti­co a Brad Pitt no será in­clui­do en la gra­da­ción, a pesar de ser el ga­na­dor de un con­cur­so. Este es, de hecho, el único caso en que un ga­na­dor puede no re­pre­sen­tar grado al­guno entre Brad Pitt y Menem, ya que en nin­gún otro con­cur­so que no sea el pri­me­ro puede ocu­rrir que un par­ti­ci­pan­te sea idén­ti­co al re­fe­ren­te (a no ser que se haya co­me­ti­do un error en el con­cur­so an­te­rior, en el que el ven­ce­dor debió haber com­par­ti­do la vic­to­ria con su doble; pero si damos por des­con­ta­da la in­fa­li­bi­li­dad del ju­ra­do, dos per­so­nas idén­ti­cas entre sí o pier­den ambas un con­cur­so o lo em­pa­tan: no puede darse, por lo tanto, un con­cur­so donde sólo una de ellas par­ti­ci­pe). Así, el re­qui­si­to para cons­ti­tuir un grado de la di­fe­ren­cia entre Brad Pitt y Menem es doble: ser el ga­na­dor de un con­cur­so (solo o acom­pa­ña­do) y no ser idén­ti­co a Brad Pitt.
En algún mundo po­si­ble, la saga puede ter­mi­nar abrup­ta­men­te en el pri­mer con­cur­so y dejar vacía o trun­ca la gra­da­ción. Ima­gi­ne­mos, por ejem­plo, que hay 1.410.613 con­cur­san­tes ini­cia­les: Menem y 1.410.612 per­so­nas idén­ti­cas entre sí. Si son más pa­re­ci­das a Brad Pitt de lo que lo es Menem, el ju­ra­do de­be­rá de­cla­rar un em­pa­te téc­ni­co entre esas 1.410.612 per­so­nas. Como Menem no puede com­pe­tir solo en un se­gun­do con­cur­so, si los ga­na­do­res ade­más son idén­ti­cos a Brad Pitt, la gra­da­ción entre él y Menem queda vacía; si sólo son idén­ti­cos entre sí, queda trun­ca en el pri­mer paso.

1.1.2. Un trán­si­to, dos trán­si­tos con­ver­gen­tes o un ran­king

Hay un modo de com­pli­car la cosa y otro de sim­pli­fi­car­la. La com­pli­ca­mos si en vez de una desa­rro­lla­mos dos se­ries de con­cur­sos, ne­ce­sa­ria­men­te con­ver­gen­tes. En pri­mer lugar, or­ga­ni­za­mos dos con­cur­sos si­mul­tá­neos, uno de pa­re­ci­dos a Brad Pitt y otro de pa­re­ci­dos a Menem; luego ha­ce­mos otros dos con­cur­sos si­mul­tá­neos para los ga­na­do­res de los con­cur­sos an­te­rio­res; y así. La per­so­na que en algún turno venza en los dos con­cur­sos será el tér­mino medio de la gra­da­ción que va de Brad Pitt a Menem.
En nues­tro ejem­plo evo­lu­cio­nis­ta, el con­cur­so de pa­re­ci­dos a Mr. Ape lo gana Mr. Are; al mismo tiem­po, el de pa­re­ci­dos a Mr. Man lo gana Mr. Mar. Los ga­na­do­res del se­gun­do par de con­cur­sos son, res­pec­ti­va­men­te, Mr. Ere y Mr. Ear. El con­cur­so de pa­re­ci­dos a Mr. Ere y el con­cur­so de pa­re­ci­dos a Mr. Ear tie­nen un mismo ga­na­dor, Mr. Err, que hace las veces de punto de su­tu­ra de las dos se­ries.

La sim­pli­fi­ca­ción del trá­mi­te (al menos para los par­ti­ci­pan­tes, ya que no para el ju­ra­do) se apoya en el si­guien­te ra­zo­na­mien­to: si K es el más pa­re­ci­do a X y X es el más pa­re­ci­do a Brad Pitt, en­ton­ces K es el se­gun­do más pa­re­ci­do a Brad Pitt. Esta tran­si­ti­vi­dad puede ex­ten­der­se su­ce­si­va­men­te a todos los ga­na­do­res. Así, po­dría­mos re­sol­ver que la bu­ro­cra­cia de con­cur­sos es in­ne­ce­sa­ria: basta con ran­quear de­bi­da­men­te a los par­ti­ci­pan­tes de un solo con­cur­so, el de pa­re­ci­dos a Brad Pitt, para ob­te­ner la serie que va de Brad Pitt a Menem, quien ne­ce­sa­ria­men­te ten­drá su po­si­ción en la tabla del ju­ra­do.
Si Menem ocupa el úl­ti­mo lugar de la tabla se sus­ci­ta el mismo pro­ble­ma que si no gana nin­guno de los con­cur­sos de la saga. Desa­rro­lla­ré esta cues­tión en la ver­sión me­dia­na­men­te bu­ro­crá­ti­ca del pro­ce­di­mien­to, sin ocu­par­me de di­lu­ci­dar si hay o no ra­zo­nes para pre­fe­rir al­gu­na de sus dos va­rian­tes re­cién re­fe­ri­das.

1.1.3. El úl­ti­mo per­de­dor y el afue­ra de la gra­da­ción

Si en vez de lle­gar a Menem desde Brad Pitt qui­sié­ra­mos en­con­trar a la per­so­na más dis­tan­te a Pitt, de­be­ría­mos se­guir ce­le­bran­do con­cur­sos hasta uno úl­ti­mo con dos par­ti­ci­pan­tes; la per­so­na que lo pier­da será la más di­fe­ren­te a Brad Pitt de ese con­jun­to.
Su­pon­ga­mos ahora que Menem es ese único in­di­vi­duo que no ha po­di­do ganar nin­gún con­cur­so de pa­re­ci­dos. Sa­be­mos en­ton­ces que entre Brad Pitt y él hay una dis­tan­cia que, den­tro de esa co­mu­ni­dad, es má­xi­ma. Pero el re­sul­ta­do no al­can­za para tra­zar el re­co­rri­do com­ple­to que va de Brad Pitt a Menem; la con­di­ción de que cada uno de los tér­mi­nos de esta gra­da­ción (in­clui­do es­pe­cial­men­te su ex­tre­mo) sea el ga­na­dor de un con­cur­so no está aquí cum­pli­da. El epi­so­dio no nos ha dado la se­cuen­cia que va de Brad Pitt a Menem, sino la que va de Brad Pitt a Q, que es el ga­na­dor del úl­ti­mo con­cur­so po­si­ble, el que los tuvo a él y a Menem como úni­cos par­ti­ci­pan­tes. Con esto, sólo sa­be­mos que Menem debe venir des­pués de Q en la se­cuen­cia, pero no po­de­mos saber aún si esa pos­te­rio­ri­dad es in­me­dia­ta o me­dia­ta. ¿Con qué de­re­cho afir­ma­re­mos que Menem es el más pa­re­ci­do a Q, si no es más pa­re­ci­do a Q que algún otro, ya que quedó solo, sin nadie con quien com­pa­rar­lo? (Tal vez Menem, a sim­ple vista, nos pa­rez­ca tan di­fe­ren­te a Q que nos re­sul­te evi­den­te que cual­quier otro que no sea él se le pa­re­ce­rá más.) En re­su­men: con­cluir que Menem es el menos pa­re­ci­do a Brad Pitt de todo un grupo (por­que quedó úl­ti­mo en la tabla del único con­cur­so que hi­ci­mos o por­que per­dió en el úl­ti­mo que era po­si­ble hacer) no equi­va­le a te­ner­lo como el tér­mino final de la gra­da­ción con­su­ma­da. Si él es o no el si­guien­te es­la­bón, es una cues­tión que sólo po­dría de­ci­dir­la, cada vez, un nuevo con­cur­so. Sólo cuan­do Menem triun­fe en al­guno el re­co­rri­do se com­ple­ta­rá.
Así, en esta even­tua­li­dad, la can­ti­dad de par­ti­ci­pan­tes con que co­men­za­mos a hacer los con­cur­sos ha re­sul­ta­do in­su­fi­cien­te para tra­zar com­ple­ta la gra­da­ción de Brad Pitt a Menem. Ahora bien: si a esta al­tu­ra de la ex­pe­rien­cia al­te­ra­mos aque­lla can­ti­dad ori­gi­nal agre­gan­do par­ti­ci­pan­tes para ce­le­brar con­cur­sos adi­cio­na­les, nunca sa­bre­mos si cual­quie­ra de los nue­vos ga­na­do­res no po­dría ha­ber­lo sido ya antes, en al­guno de los con­cur­sos que lo pre­exis­tie­ron. Ima­gi­ne­mos que, en la pri­me­ra ins­tan­cia su­ple­men­ta­ria, el ga­na­dor del con­cur­so de pa­re­ci­dos a Q fue M y no Menem (acaso com­pi­tie­ron ellos dos solos, acaso hubo más). Tal vez si M hu­bie­ra par­ti­ci­pa­do en el con­cur­so de pa­re­ci­dos a P, que en su mo­men­to ganó N, lo ha­bría ga­na­do él; o tal vez no, pero las chan­ces de M au­men­tan a me­di­da que vamos ha­cien­do la cuen­ta de cuán­tos con­cur­sos lo tu­vie­ron afue­ra. Así, qui­zás su po­si­ción más con­ve­nien­te en la se­cuen­cia no sea des­pués de Q, sino al­gu­na an­te­rior, cer­ca­na o re­mo­ta (ni si­quie­ra po­de­mos des­car­tar la po­si­ción si­guien­te a Brad Pitt, que ahora ocupa X). Y lo que su­ce­de con M su­ce­de­rá con cada uno de los nue­vos ven­ce­do­res de Menem agre­ga­dos a la serie.
En rigor, lo que es­ta­ría­mos ha­cien­do con ellos sería tra­zar un nuevo re­co­rri­do, esta vez de Q a Menem, para ado­sar­lo al re­co­rri­do que par­tió de Brad Pitt y llegó hasta Q. Pero la yux­ta­po­si­ción de esas dos gra­da­cio­nes no equi­va­le a una gra­da­ción inin­te­rrum­pi­da de Brad Pitt a Menem; sólo por una ex­tra­or­di­na­ria ca­sua­li­dad el en­sam­ble de dos gra­da­cio­nes (for­ma­das a par­tir de elen­cos in­de­pen­dien­tes) po­dría dar­nos una gra­da­ción cohe­ren­te. (Esta ca­sua­li­dad sería análo­ga a la del hom­bre que se queda dor­mi­do en un cine y, hasta el mo­men­to en que des­pier­ta y re­to­ma la pe­lí­cu­la, sueña exac­ta­men­te las mis­mas imá­ge­nes que se per­dió por haber es­ta­do dor­mi­do.)
Su­pon­ga­mos en­ton­ces que re­sol­ve­mos hacer todos los con­cur­sos otra vez, con el nuevo elen­co agre­ga­do. Su­pon­ga­mos tam­bién, pro­vi­so­ria­men­te, que ni en éste ni en nin­gún otro elen­co inau­gu­ral hay con­cur­san­tes idén­ti­cos entre sí; es decir, nunca habrá un em­pa­te y la resta de ga­na­do­res se hará siem­pre de a uno. La can­ti­dad de con­cur­sos po­si­bles cre­ce­rá en pro­por­ción di­rec­ta a la cifra agre­ga­da, lo que dará a Menem más opor­tu­ni­da­des de ganar (no más chan­ces de ven­cer en un con­cur­so par­ti­cu­lar, ya que éstas dis­mi­nu­yen cuan­do los com­pe­ti­do­res au­men­tan). De todos modos, mien­tras el nú­me­ro de par­ti­ci­pan­tes ori­gi­na­les sea fi­ni­to, nada im­pi­de que Menem pueda vol­ver a per­der el úl­ti­mo con­cur­so que sea po­si­ble hacer y se re­pi­ta la si­tua­ción. Por lo tanto, el único modo de ga­ran­ti­zar que Menem gane un con­cur­so más tarde o más tem­prano es con­tar de en­tra­da con un nú­me­ro in­fi­ni­to de con­cur­san­tes dis­tin­tos; con un nú­me­ro así no puede haber, por de­fi­ni­ción, un úl­ti­mo con­cur­so po­si­ble: hasta que lo logre, Menem siem­pre ten­drá otra oca­sión de ganar.

1.1.4. El trán­si­to de un elen­co in­fi­ni­to: la resta de a uno

Para de­mos­trar­lo, pri­me­ro dé­mos­le una cifra a ese ca­rác­ter in­fi­ni­to de la nueva can­ti­dad, de modo que po­da­mos ope­rar con ella. Cual­quier car­di­nal trans­fi­ni­to nos ser­vi­rá por igual; eli­ja­mos el pri­me­ro de ellos, que es el más co­no­ci­do. Di­ga­mos en­ton­ces que hay, en el cés­ped, ℵ₀ per­so­nas que as­pi­ran a ganar el pri­mer con­cur­so, el de pa­re­ci­dos a Brad Pitt. El ga­na­dor se resta del total y va a las tri­bu­nas para acom­pa­ñar a Pitt. Para el se­gun­do con­cur­so hay ℵ₀–1= ℵ₀ par­ti­ci­pan­tes. De este total se res­ta­rá el ga­na­dor del se­gun­do con­cur­so. Habrá en­ton­ces 3 per­so­nas en las tri­bu­nas y ℵ₀–1= ℵ₀ en el campo de juego. Así, en ge­ne­ral, en el enési­mo con­cur­so habrá en las tri­bu­nas n+1 per­so­nas (donde ese “1” es Brad Pitt) y, en el cés­ped, ℵ₀–1 (donde ese “1” es el ga­na­dor del con­cur­so n–1, es decir, el an­te­rior). En el in­fi­ni­té­si­mo con­cur­so, la to­ta­li­dad de las per­so­nas res­ta­das a las ℵ₀ de la can­cha, y que acom­pa­ñan a Brad Pitt en las tri­bu­nas, es ℵ₀; esa resta, por lo tanto, no sólo no logra va­ciar la can­cha (lo que im­pli­ca­ría que los con­cur­sos ha­brían ce­sa­do), sino que ni si­quie­ra al­te­ra la can­ti­dad ori­gi­nal, que sigue sien­do ℵ₀ (lo que im­pli­ca que los con­cur­sos pue­den con­ti­nuar eter­na­men­te).
De­mo­ré­mo­nos en este punto. Res­tar­le 1 miem­bro ℵ₀ veces a un con­jun­to de ℵ₀ miem­bros no es lo mismo que res­tar­le ℵ₀ miem­bros 1 vez. Como ve­re­mos en­se­gui­da, el re­sul­ta­do de esta úl­ti­ma resta puede ser cual­quier nú­me­ro de 0 a ℵ₀. La pri­me­ra, en cam­bio, no es en rigor una resta, sino una serie de res­tas que se su­ce­den en el tiem­po; in­clu­so, no hay aquí un con­jun­to de ℵ₀ miem­bros al que le res­ta­mos 1 miem­bro ℵ₀ veces, sino una co­lec­ción de ℵ₀ con­jun­tos de ℵ₀ miem­bros a los que les res­ta­mos 1 miem­bro. Con­ce­da­mos que sa­be­mos que esos ℵ₀ con­jun­tos no son ca­sua­les ni in­de­pen­dien­tes; con­ce­da­mos que sa­be­mos que tra­zan una his­to­ria, que cada uno es el re­sul­ta­do de una resta an­te­rior. Si no es­ta­mos obli­ga­dos a dar cuen­ta de ese saber, po­de­mos ha­blar, es­tá­ti­ca­men­te, de ℵ₀ con­jun­tos de ℵ₀ con­cur­san­tes. Si tam­po­co lo te­ne­mos prohi­bi­do, po­dre­mos ha­blar, di­ná­mi­ca­men­te, de un con­jun­to de ℵ₀ con­cur­san­tes que a tra­vés del tiem­po va cam­bian­do (si no en su car­di­na­li­dad, sí en su cons­ti­tu­ción: si K, que ganó el con­cur­so an­te­rior, era un miem­bro del con­jun­to de los con­cur­san­tes, ahora ya no lo es; sin él, el con­jun­to es otro).

1.1.5. El trán­si­to de un elen­co in­fi­ni­to: la resta de a mu­chos

In­cor­po­re­mos la even­tua­li­dad de que en el elen­co in­fi­ni­to del que par­ti­mos haya par­ti­ci­pan­tes que sean idén­ti­cos entre sí y pro­vo­quen un em­pa­te en algún mo­men­to de la jor­na­da. La resta a un con­jun­to de ℵ₀ con­cur­san­tes (ini­cial o avan­za­do) ya no será ne­ce­sa­ria­men­te de 1 miem­bro; podrá serlo in­clu­so de ℵ₀ miem­bros, en el mayor em­pa­te que se puede al­can­zar con un elen­co así de in­fi­ni­to. La im­po­si­bi­li­dad de un úl­ti­mo con­cur­so (y lo que esto ga­ran­ti­za: el cie­rre de la gra­da­ción de Brad Pitt a Menem) será vá­li­da ahora en al­gu­nos casos y falsa en otros. Vea­mos cuá­les.
La resta ℵ₀–ℵ₀ puede dar como re­sul­ta­do cual­quier nú­me­ro de 0 a ℵ₀. (Para una ex­pli­ca­ción análo­ga a la que sigue, puede verse el libro de Ber­trand Rus­sel In­tro­duc­ción a la fi­lo­so­fía ma­te­má­ti­ca, Ca­pí­tu­lo 8: “Nú­me­ros car­di­na­les in­fi­ni­tos”; Pai­dós, Bar­ce­lo­na, 1988, pá­gi­nas 80 y 81.) Será 0 si a los ℵ₀ con­cur­san­tes que están en el cés­ped (en cual­quier mo­men­to del pro­ce­so) los ha­ce­mos ir a las tri­bu­nas de una sola vez por­que todos, sin ex­cep­ción, son idén­ti­cos entre sí (en nues­tro ejem­plo, idén­ti­cos a Menem). Será 1 si esos ℵ₀ con­cur­san­tes son idén­ti­cos entre sí, ex­cep­to Menem, que que­da­rá solo en el cés­ped por­que es menos pa­re­ci­do que ellos al ho­me­na­jea­do; será 2 si esta ex­cep­ción es com­par­ti­da con otro con­cur­san­te; 3, si la ex­cep­ción es tri­ple; etc. Así, si ℵ₀ son idén­ti­cos entre sí y más pa­re­ci­dos al re­fe­ren­te de turno que otros n con­cur­san­tes (donde n es cual­quier nú­me­ro na­tu­ral), habrá más tarde o más tem­prano un úl­ti­mo con­cur­so si n≠0 ó n≠1; si n=0 ó n=1, ese habrá sido el úl­ti­mo con­cur­so (en el pri­mer caso, por­que en la si­guien­te vez no habrá quien con­cur­se; en el se­gun­do, por­que el que quedó solo en el cés­ped no ten­drá con quién com­pe­tir).
La ex­cep­ción tiene un ta­ma­ño lí­mi­te: ℵ₀ con­cur­san­tes. Es decir: en este caso, el re­sul­ta­do de ℵ₀–ℵ₀ es ℵ₀. Po­dría­mos tam­bién ima­gi­nar, por ejem­plo, que ha­ce­mos ir a las tri­bu­nas sólo a los par­ti­ci­pan­tes pares (su­pon­ga­mos que los hemos nu­me­ra­do, como suele ha­cer­se, y se dio la ca­sua­li­dad de que todos los pares eran idén­ti­cos entre sí). Como sea, si ℵ₀ son idén­ti­cos entre sí y más pa­re­ci­dos a Brad Pitt que otros ℵ₀ con­cur­san­tes, no habrá un úl­ti­mo con­cur­so.
Fi­nal­men­te, si n son idén­ti­cos entre sí y más pa­re­ci­dos a Brad Pitt que el resto de los ℵ₀ con­cur­san­tes, tam­po­co habrá un úl­ti­mo con­cur­so (el caso donde no hay par­ti­ci­pan­tes idén­ti­cos entre sí es aquel donde n=0; el caso n=1 es neu­tro). Se trata de otra resta con un nú­me­ro trans­fi­ni­to, pero cuyo re­sul­ta­do esta vez está per­fec­ta­men­te de­ter­mi­na­do: ℵ₀–n= ℵ₀, cual­quie­ra sea el modo como se pro­ce­da.
Así, en ge­ne­ral, si en un con­cur­so ce­le­bra­do con un elen­co in­fi­ni­to el tras­la­do de ga­na­do­res a la tri­bu­na deja en el cés­ped un resto de ℵ₀ par­ti­ci­pan­tes para el con­cur­so si­guien­te, en­ton­ces la saga será in­fi­ni­ta; vale decir, no habrá en la jor­na­da un úl­ti­mo con­cur­so, gra­cias a lo cual, tarde o tem­prano, Menem ga­na­rá el suyo y la gra­da­ción se com­ple­ta­rá.

Hasta aquí, nos hemos ocu­pa­do del re­co­rri­do que va de Brad Pitt a Menem; en lo que resta nos ocu­pa­re­mos del pri­mer paso, uti­li­za­do como caso tes­ti­go de la ve­cin­dad de cua­les­quie­ra dos tér­mi­nos de la serie.

1.2. Ve­cin­da­des

Para lo an­te­rior y para lo que sigue, con­ven­ga­mos que dis­po­ne­mos de un ju­ra­do con una ca­pa­ci­dad in­fa­li­ble de dis­cer­ni­mien­to, lejos de aquel que en los EE.​UU. ubicó ter­ce­ro a Cha­plin en un con­cur­so de pa­re­ci­dos a Cha­plin (según otras ver­sio­nes, Cha­plin ni si­quie­ra pasó la pri­me­ra ronda). El atri­bu­to es me­ra­men­te fa­bu­lo­so; con­sis­te en lle­var a la per­fec­ción una cua­li­dad ya pre­sen­te en cual­quier ju­ra­do. Y a la vez que un dis­cer­ni­mien­to per­fec­to, de­be­mos con­ce­der­le al ju­ra­do la ca­pa­ci­dad de co­te­jar los mé­ri­tos de un nú­me­ro in­fi­ni­to de per­so­nas. La tarea es ex­tra­or­di­na­ria, pero no im­po­si­ble, pues­to que no lo es un nú­me­ro in­fi­ni­to. Mien­tras nin­gu­na con­tra­dic­ción apa­rez­ca, po­dre­mos dotar li­bre­men­te a nues­tro ju­ra­do de los re­cur­sos que ne­ce­si­te para cum­plir su tra­ba­jo (en este caso, una ve­lo­ci­dad de pro­ce­sa­mien­to acor­de a la mag­ni­tud del elen­co).
Ade­más de ga­ran­ti­zar­la en cier­tos casos, un nú­me­ro in­fi­ni­to de con­cur­san­tes po­dría hacer más “de­li­ca­da” la gra­da­ción entre Brad Pitt y Menem. Si el elen­co ini­cial es fi­ni­to y es pobre en ma­ti­ces, el re­co­rri­do que ob­ten­ga­mos tal vez re­sul­te de­ma­sia­do corto e irre­gu­lar (com­bi­na­ción letal) como para ser ve­ro­sí­mil, con sal­tos brus­cos e in­ter­va­los des­pa­re­jos en pocos me­tros. La gra­da­ción debe as­pi­rar a crear una ilu­sión de con­ti­nui­dad; no es bueno para ella que ya el 5º ga­na­dor se pa­rez­ca poco a Brad Pitt, y tam­po­co lo es que entre el 23º y el 24º, por ejem­plo, haya una di­fe­ren­cia no­to­ria­men­te mayor que entre el 22º y el 23º. Estas in­su­fi­cien­cias y des­pro­li­ji­da­des pue­den co­rre­gir­se au­men­tan­do el nú­me­ro ini­cial de par­ti­ci­pan­tes.

1.2.1. La uto­pía del elen­co ab­so­lu­to y la ve­cin­dad de­fi­ni­ti­va

Con­cen­tré­mo­nos en el pri­mer paso del re­co­rri­do. Cuan­to mayor es el grupo de su­je­tos sobre el que debe de­ci­dir el ju­ra­do, ma­yo­res son las po­si­bi­li­da­des de que haya va­rios que sean dig­nos del triun­fo. Si esta pro­ba­bi­li­dad es es­ca­sa en un grupo de 687 per­so­nas, en uno de 141.​006.​122.​612 no sería ex­tra­ño que hu­bie­ra dos o más hom­bres cuyas di­fe­ren­cias con Brad Pitt fue­ran casi tan su­ti­les como las que pu­die­sen pre­sen­tar entre sí (tal vez ape­nas un lunar de di­fe­ren­cia, tal vez sólo la forma del lunar).
Así, el in­cre­men­to pro­gre­si­vo en la can­ti­dad de con­cur­san­tes fa­vo­re­ce el ha­llaz­go de in­di­vi­duos cada vez más pa­re­ci­dos a Pitt. Si­guien­do esta pro­gre­sión, ¿puede algún nú­me­ro de con­cur­san­tes, fi­ni­to o in­fi­ni­to, ga­ran­ti­zar que en­con­tra­re­mos al hom­bre más pa­re­ci­do a Brad Pitt que pueda haber, más pa­re­ci­do al cual no hay ni puede haber otro? Desde ya, el elen­co mí­ni­mo en que tal su­je­to puede estar –si exis­te– cuen­ta con dos par­ti­ci­pan­tes. La cues­tión es saber si hay un elen­co má­xi­mo, un grupo en el cual su pre­sen­cia sea inevi­ta­ble.

Vol­va­mos al caso que sus­ci­tó la ne­ce­si­dad de un elen­co in­fi­ni­to. Menem es la meta ma­lo­gra­da del re­co­rri­do: per­dió el úl­ti­mo con­cur­so po­si­ble fren­te a Q y quedó como el su­je­to más di­fe­ren­te a Brad Pitt de todo el grupo, sin haber lle­ga­do a in­te­grar la gra­da­ción; el menos di­fe­ren­te de todos es X, el ga­na­dor del pri­mer con­cur­so. Lo de­fi­ni­ti­vo de estos re­sul­ta­dos está aco­ta­do al plan­tel ini­cial de par­ti­ci­pan­tes, que cons­ti­tu­ye una to­ta­li­dad par­cial (tiene un ta­ma­ño que por ser de­ter­mi­na­do es li­mi­ta­do: 1.410.612, ℵ₀, 2^ℵo, etc.). Para que esos re­sul­ta­dos fue­sen de­fi­ni­ti­vos en re­la­ción con todos los plan­te­les po­si­bles (es decir, de un modo ab­so­lu­to), ese lí­mi­te de­be­ría poder su­pri­mir­se a fuer­za de ser des­pla­za­do (to­man­do para nues­tros con­cur­sos plan­te­les de ta­ma­ños cada vez más gran­des hasta uno úl­ti­mo, in­su­pe­ra­ble). Pero si todo elen­co tiene au­sen­cias po­si­bles, cual­quier nú­me­ro in­fi­ni­to de par­ti­ci­pan­tes re­sul­ta tan in­su­fi­cien­te como uno fi­ni­to para ga­ran­ti­zar que el ele­gi­do entre ellos no pueda ser su­pe­ra­do por el que se elija de un elen­co mayor. Para al­can­zar esa ga­ran­tía se ne­ce­si­ta­ría un nú­me­ro mayor que cual­quier otro, ra­di­cal­men­te dis­tin­to al resto: un nú­me­ro total, el de un elen­co ab­so­lu­to, fuera del cual no pueda haber nadie.
Pero sa­be­mos por un teo­re­ma de Can­tor que un con­jun­to y un nú­me­ro así no son po­si­bles. Para todo con­jun­to –fi­ni­to o in­fi­ni­to–, la ecua­ción 2ⁿ (donde n es el nú­me­ro de sus ele­men­tos) pro­vee la can­ti­dad de ele­men­tos de su con­jun­to po­ten­cia, que es el con­jun­to de sus sub­con­jun­tos. Por ejem­plo: si un con­jun­to posee 2 miem­bros (a, b), su con­jun­to po­ten­cia ten­drá 2²= 4 miem­bros (que son los sub­con­jun­tos de aquél: {a, b}, {a}, {b}, {Ø}); a su vez, el con­jun­to po­ten­cia de éste ten­drá 2⁴= 16 miem­bros; el de éste, 2¹⁶ = 65.536 miem­bros; etc. Esta re­la­ción, que para nú­me­ros fi­ni­tos pa­re­ce muy in­tui­ti­va, Can­tor pudo de­mos­trar­la tam­bién para nú­me­ros trans­fi­ni­tos: si un con­jun­to tiene ℵ₀ miem­bros (el de los nú­me­ros na­tu­ra­les, por ejem­plo), su con­jun­to po­ten­cia (el con­jun­to de todos los sub­con­jun­tos de nú­me­ros na­tu­ra­les) ten­drá 2^ℵo miem­bros, que es un nú­me­ro mayor. Si cual­quier con­jun­to es menor que su con­jun­to po­ten­cia, no puede en­ton­ces exis­tir un con­jun­to que sea mayor que todos los demás ni, por lo tanto, uno que ne­ce­si­te serlo (como sería el caso del con­jun­to de todos los con­jun­tos).

Así, en el su­pues­to de que siem­pre pueda reini­ciar­se la saga de con­cur­sos con un plan­tel mayor que el an­te­rior, de donde pueda sur­gir al­guien más pa­re­ci­do a Brad Pitt que el que ob­tu­vi­mos la úl­ti­ma vez, si esta dis­mi­nu­ción de la di­fe­ren­cia no tu­vie­ra un tope, en­ton­ces no po­dría haber nadie ab­so­lu­ta­men­te cer­cano a Brad Pitt. In­ver­sa­men­te, si hu­bie­se un mí­ni­mo de la di­fe­ren­cia, menor al cual ya es­ta­ría­mos en la iden­ti­dad, no ha­bría ne­ce­si­dad de un nú­me­ro total para en­con­trar al más pa­re­ci­do a Brad Pitt; una vez al­can­za­do ese mí­ni­mo (en la per­so­na de Z, por ejem­plo) se vol­ve­ría ocio­so in­cor­po­rar nueva gente al elen­co.
Para gra­fi­car mejor la si­tua­ción, su­pon­ga­mos que su­ce­de lo que de­ci­mos que puede su­ce­der: de cada elen­co nuevo surge siem­pre otra per­so­na más pa­re­ci­da a Brad Pitt que el ga­na­dor an­te­rior. Com­pa­dez­cá­mo­nos de la suer­te de X, el más pa­re­ci­do a Pitt entre todos los del pri­mer elen­co. Al cabo de la se­gun­da saga de con­cur­sos, entre X y Brad Pitt se in­ter­po­ne, como mí­ni­mo, J. En la ter­ce­ra saga, L se in­ter­po­ne entre J y Brad Pitt; X queda en­ton­ces, como mí­ni­mo, a dos lu­ga­res de dis­tan­cia de Pitt. Así, en ge­ne­ral, en la saga n X queda, mí­ni­ma­men­te, a n–1 cuer­pos de Brad Pitt. Si siem­pre po­de­mos en­con­trar a al­guien más pa­re­ci­do a Pitt que el en­con­tra­do la vez an­te­rior, en­ton­ces X siem­pre po­dría ale­jar­se un poco más de Pitt, de quien em­pe­zó sien­do su ve­cino. Su dis­tan­cia­mien­to no tiene lí­mi­te, si no lo tiene el acer­ca­mien­to a Brad Pitt.
Re­su­ma­mos. Re­sol­ver un con­cur­so im­pli­ca con­sa­grar al ga­na­dor como su­ce­sor in­me­dia­to del ho­me­na­jea­do. Com­ple­tar una saga de con­cur­sos es re­dis­tri­buir un con­jun­to de per­so­nas en un orden de su­ce­sión in­me­dia­ta según si­mi­li­tu­des co­rre­la­ti­vas. Si no hay un mí­ni­mo de la di­fe­ren­cia entre dos in­di­vi­duos, toda su­ce­sión in­me­dia­ta lo será en tér­mi­nos re­la­ti­vos (nadie ten­drá ga­ran­ti­za­da su ve­cin­dad a per­pe­tui­dad); si lo hay, lo será en tér­mi­nos ab­so­lu­tos.

1.2.2. De por qué la gra­da­ción es dis­cre­ta y de cómo sería con­ti­nua

Sean pro­vi­so­rias o de­fi­ni­ti­vas las ve­cin­da­des, el hecho de que los tér­mi­nos de la gra­da­ción re­sul­ten siem­pre con­se­cu­ti­vos im­pli­ca que la serie es dis­cre­ta. Los in­cre­men­tos su­ce­si­vos en el elen­co ini­cial afec­tan más a la ex­ten­sión de la serie que al ca­rác­ter de su den­si­dad: la hacen más larga, se­gu­ra­men­te tam­bién más de­li­ca­da, pero no con­ti­nua. Acá el su­ce­sor in­me­dia­to o bien es fi­nal­men­te uno o bien es po­si­ble que sea cada vez otro. En una serie pro­pia­men­te con­ti­nua, en cam­bio, no hay su­ce­sor in­me­dia­to: es un hecho que entre dos tér­mi­nos cua­les­quie­ra siem­pre hay in­fi­ni­tos tér­mi­nos –el nú­me­ro exac­to e iden­ti­fi­ca­to­rio es 2^ℵo, que es el car­di­nal del con­ti­nuo–.
La dis­tan­cia de Brad Pitt a K cons­ta de una per­so­na, que es X. De Brad Pitt a Menem hay, desde ya, una dis­tan­cia mayor: n per­so­nas. En una serie fi­ni­ta de ga­na­do­res, las dis­tan­cias que hay entre dis­tin­tos hitos serán siem­pre dis­tin­tas. Pero sólo en se­ries fi­ni­tas, ya que si la serie es in­fi­ni­ta y con­ti­nua puede (y debe) haber una dis­tan­cia de igual can­ti­dad de per­so­nas entre Brad Pitt y K como entre Brad Pitt y Menem, por caso. Si el pa­sa­je de una per­so­na a otra pu­die­se ser con­ti­nuo (como es la fluen­cia de una sola iden­ti­dad), entre dos per­so­nas con una di­fe­ren­cia ín­fi­ma –todo lo ín­fi­ma que se quie­ra– ha­bría tan­tos po­si­bles ga­na­do­res como entre dos per­so­nas de vasta di­fe­ren­cia .

1.2.3. Gra­da­ción de re­co­no­ci­mien­to y gra­da­ción de dis­cer­ni­mien­to

Sin en­trar en de­ta­lles, una línea se com­po­ne de 2^ℵo pun­tos. Lo má­xi­mo que po­de­mos api­ñar los ℵ₀ pun­tos de una fila es ha­cien­do que entre dos cua­les­quie­ra, por más pró­xi­mos que estén, se aco­mo­den siem­pre otros ℵ₀, como ocu­rre entre dos frac­cio­nes. Aun apli­can­do el má­xi­mo api­ña­mien­to, no ob­ten­dre­mos una línea; más exac­ta­men­te, ha­bre­mos que­da­do a 2^ℵo–ℵ₀= 2^ℵo pun­tos de los ne­ce­sa­rios para tener una línea, un con­ti­nuo uni­di­men­sio­nal.
Dis­cre­ta como una fila de pun­tos es la serie de ga­na­do­res que in­te­gran la gra­da­ción entre Brad Pitt y Menem. Como una línea, que acaso es el viaje o la his­to­ria de un punto, es la his­to­ria de la fi­so­no­mía de Brad Pitt. Hemos to­ma­do una sola ima­gen suya, la ima­gen de un solo ins­tan­te; de hecho, todos los con­cur­sos hasta acá se han hecho con una ima­gen por par­ti­ci­pan­te. Si entre el elen­co de inicio fi­gu­ra­sen todas las imá­ge­nes de Brad Pitt (las imá­ge­nes de todos sus ins­tan­tes), ellas ga­na­rían los con­cur­sos antes que nin­gu­na otra y ob­ten­dría­mos un mo­de­lo dis­cre­to del cam­bio de Brad Pitt a tra­vés del tiem­po, que es otro con­ti­nuo.
Una gra­da­ción así, que viene a re­tra­tar la con­ti­nui­dad de la iden­ti­dad Brad Pitt, sirve a su re­co­no­ci­mien­to, a su iden­ti­fi­ca­ción. La gra­da­ción que traza una di­fe­ren­cia or­de­na­da (una serie bien-or­de­na­da) entre él y Menem, en cam­bio, sirve a su dis­cer­ni­mien­to: con n ga­na­do­res-gra­dos, cuyas dis­tan­cias exac­tas de Brad Pitt co­no­ce­mos, re­ci­bi­mos n no­ti­cias coin­ci­den­tes de dónde está Brad Pitt, de cuál es su po­si­ción en la serie, de cuál es el grado cero de la gra­da­ción. Cuan­to más gran­de sea n, más dis­tin­gui­ble podrá re­sul­tar­nos Brad Pitt, y más di­fí­cil será que un im­pos­tor nos logre en­ga­ñar o con­fun­dir; en el caso ex­tre­mo, co­no­ce­re­mos a todos los que no son Brad Pitt, y por cuán­to.