Una colmena infinita

«Acabo de es­cri­bir in­fi­ni­ta. No he in­ter­po­la­do ese ad­je­ti­vo por una cos­tum­bre re­tó­ri­ca; digo que no es iló­gi­co pen­sar que el mundo es in­fi­ni­to. Quie­nes lo juz­gan li­mi­ta­do, pos­tu­lan que en lu­ga­res re­mo­tos los co­rre­do­res y es­ca­le­ras y he­xá­go­nos pue­den in­con­ce­bi­ble­men­te cesar, lo cual es ab­sur­do. Quie­nes la ima­gi­nan sin lí­mi­tes, ol­vi­dan que los tiene el nú­me­ro po­si­ble de li­bros. Yo me atre­vo a in­si­nuar esta so­lu­ción del an­ti­guo pro­ble­ma: ...»

En el cuen­to “La Bi­blio­te­ca de Babel”, de Jorge Luis Bor­ges. El pri­mer ar­gu­men­to de la an­ti­no­mia ba­bé­li­ca re­cuer­da el se­gun­do de la an­tí­te­sis de la pri­me­ra an­ti­no­mia de Kant.*
Cito de la “Prue­ba” de la “An­tí­te­sis” de la “Pri­me­ra opo­si­ción de las ideas tras­cen­den­ta­les” de la Crí­ti­ca de la razón pura, de Kant:

«En cuan­to al se­gun­do punto, co­men­ce­mos por su­po­ner lo con­tra­rio: que el mundo es fi­ni­to y li­mi­ta­do, por lo que al es­pa­cio res­pec­ta. Se en­cuen­tra, pues, en un es­pa­cio vacío e ili­mi­ta­do. Ten­dría­mos, por tanto, no sólo una re­la­ción de las cosas en el es­pa­cio, sino tam­bién de las cosas con el es­pa­cio. Ahora bien, si te­ne­mos en cuen­ta que el mundo es un todo ab­so­lu­to fuera del cual no hay ob­je­tos de in­tui­ción, ni, con­si­guien­te­men­te, co­rre­la­to nin­guno con el que pueda re­la­cio­nar­se, la re­la­ción del mundo con el es­pa­cio vacío sería una re­la­ción con nin­gún ob­je­to. Pero se­me­jan­te re­la­ción y, con­si­guien­te­men­te, tam­bién la li­mi­ta­ción del mundo por el es­pa­cio vacío, no es nada. Por tanto, el mundo es ili­mi­ta­do en re­la­ción con el es­pa­cio, es decir, es in­fi­ni­to res­pec­to de la ex­ten­sión.»

En su “Ob­ser­va­ción a la pri­me­ra an­ti­no­mia”, Kant dis­cu­te el punto, pero acaba con­ce­dien­do:


«Ahora bien, ad­mi­ti­do todo esto, es sin em­bar­go in­ne­ga­ble que si se ad­mi­te un lí­mi­te del mundo, ya sea según el es­pa­cio o ya según el tiem­po, hay que ad­mi­tir por com­ple­to estos dos ab­sur­dos: el es­pa­cio vacío fuera del mundo y el tiem­po vacío antes del mundo.»

1
La so­lu­ción in­si­nua­da será epí­gra­fe en otro en­sa­yo. En este me in­tere­sa pen­sar en un modo de cre­ci­mien­to al­ter­na­ti­vo al del mundo-Bi­blio­te­ca. En el nuevo modo, la lo­ca­li­za­ción re­mo­ta del cese de he­xá­go­nos, si tal cosa puede su­ce­der, no va a que­dar. En todo caso, ya no será ex­ten­sa sino den­sa­men­te re­mo­ta la pro­li­fe­ra­ción de he­xá­go­nos, que pue­den que­dar. En vez de un cre­ci­mien­to in­fi­ni­ta­men­te di­ver­gen­te habrá –para cier­ta pers­pec­ti­va, al menos– uno in­fi­ni­ta­men­te con­ver­gen­te (o sea, li­mi­ta­do e in­fi­ni­to). Vamos a ba­ra­jar de nuevo un mazo in­fi­ni­to.
Ima­gi­ne­mos un mundo que con cada pro­li­fe­ra­ción a ab­sor­ber au­men­te su den­si­dad y en­ton­ces pueda con­ser­var casi su ex­ten­sión, en vez de un mundo que con­ser­ve su den­si­dad y deba au­men­tar en­ton­ces su ex­ten­sión (como el de la Bi­blio­te­ca, que se ex­tien­de con una ve­lo­ci­dad es­ta­ble y cons­tan­te de n li­bros por metro cua­dra­do o cú­bi­co –o por he­xá­gono).

2
En el “Si­mu­la­dor de frac­tal” de la PUE­MAC (Ins­ti­tu­to de Ma­te­má­ti­cas, Uni­ver­si­dad Na­cio­nal Au­tó­no­ma de Mé­xi­co), el frac­tal nú­me­ro 13 se llama “Panal”. El di­bu­jo que re­pre­sen­ta su es­que­ma ge­ne­ra­dor está en la parte su­pe­rior iz­quier­da de la pá­gi­na; es este:


(“Di­men­sión de si­mi­li­tud: 2.0” sig­ni­fi­ca que la curva, en el lí­mi­te de su in­fi­ni­ta ge­ne­ra­ción, llena todo el plano.)
Hasta que la pers­pec­ti­va se en­ra­rez­ca (lo pro­me­to), re­em­pla­ce­mos los pasos de la cons­truc­ción del frac­tal con las al­tu­ras que va con­quis­tan­do una abeja desde que des­pe­ga, ima­gi­ne­mos que en su pri­mer vuelo. En la pri­me­ra al­tu­ra, en­ton­ces, su mundo se ve así:



La abeja no verá pero in­tui­rá que ha­bi­ta un he­xá­gono, que muy pro­ba­ble­men­te tiene al menos un he­xá­gono ve­cino al Oeste; puede en­ton­ces con­je­tu­rar que tal vez su he­xá­gono es una celda de un panal y su mundo una col­me­na.
La abeja sigue ga­nan­do al­tu­ra. La pers­pec­ti­va del nivel 2 le da esta ima­gen de su mundo:


La abeja co­rro­bo­ra su in­tui­ción y su con­je­tu­ra: el punto del que par­tió se en­cuen­tra en uno de los he­xá­go­nos de un panal que por ahora llena todo su campo de vi­sión (por lo que no le su­po­ne una forma).
La abeja se aleja un nivel más y este es el pai­sa­je que ve abajo:


Esta vez los he­xá­go­nos, entre com­ple­tos e in­con­clu­sos, no lle­nan el campo vi­sual de la abeja. El panal se in­si­núa li­mi­ta­do, y des­pun­ta ya su forma, que es más que in­tui­ble y menos que vi­si­ble. El ca­rác­ter li­mi­ta­do del panal, el hecho de con­for­mar una fi­gu­ra, de tener una si­lue­ta, es la no­ve­dad se­gu­ra que apor­ta la vi­sión del nivel 3; la otra no­ve­dad, que aven­tu­ra qué forma tiene el panal, es to­da­vía con­je­tu­ral.
La vista del nivel 4 con­fir­ma o co­rri­ge la con­je­tu­ra; la forma del panal se de­fi­ne:


Es la se­gun­da ima­gen que no ex­ce­de el campo vi­sual de la abeja, ahora in­clu­so sin si­quie­ra dar lugar a la ilu­sión de que eso puede pasar en el nivel si­guien­te. Ya pa­re­ce claro que el panal cre­ce­rá mu­chí­si­mo hacia den­tro y po­quí­si­mo hacia fuera de una si­lue­ta si­mi­lar a la de una flor de seis pé­ta­los. (La gra­dual con­ver­sión vi­sual del des­tino del néc­tar en una de sus fuen­tes po­dría hacer vol­ver a la abeja, y con las manos va­cías, para agra­van­te del en­ga­ño.)
En el nivel 5, la de­fi­ni­ción que gana la si­lue­ta la em­pie­zan a per­der los he­xá­go­nos que la for­man:


Desde la al­tu­ra 6, la abeja ya no dis­tin­gue ni su he­xá­gono de par­ti­da ni la forma he­xa­go­nal que tie­nen los va­cíos que to­da­vía que­dan (y que se­gui­rán que­dan­do, hasta el lí­mi­te de esa pro­gre­sión arit­mé­ti­ca in­fi­ni­ta de pasos que tiene el frac­tal –no muy bien lla­ma­da “di­ver­gen­te”–, donde el es­pa­cio se llena):


A esta al­tu­ra del vuelo la pers­pec­ti­va ya se hizo ex­tra­ña: las dis­tan­cias cre­cien­tes van em­pe­que­ñe­cien­do los hue­cos he­xa­go­na­les, en lugar del mundo de nues­tra abeja. Cum­plo con el lí­mi­te pro­me­ti­do.